En forma de conjetura, el llamado problema de la discrepancia de Erdös se puede enunciar así: para cualquier sucesión infinita formada por unos y menos unos, siempre es posible encontrar una cantidad finita de términos equidistantes cuya suma supere, en valor absoluto, cualquier número previamente elegido, por grande que se tome. La conjetura la demostró Terence Tao (UCLA) en septiembre de 2015.
Se pueden dar varias razones que hacen de este un problema relevante.
Por un lado está la dificultad matemática de un problema de enunciado muy sencillo pero que ha requerido de técnicas sofisticadísimas para su resolución; una medida de esta dificultad la da el hecho de que el problema haya tardado 80 años en resolverse.
Por otro lado, está quien propuso el problema: Paul Erdös. Erdös fue sin duda uno de los científicos más singulares de la historia, una especie de matemático errante que no tuvo más hogar que las propias matemáticas. Erdös solía ofrecer premios en metálico por resolver los numerosos problemas que propuso a lo largo de su vida; en el caso del problema de la discrepancia el premio ofrecido fue de 500 euros, uno de los de más cuantía. Y también destaca por quien lo ha resuelto: Terence Tao, medalla Fields en el ICM-2006 de Madrid, es posiblemente el diamante que más brilla en el panorama matemático mundial. Se da la circunstancia de que Erdös le redactó a Tao una carta de recomendación para Princeton, cuando este, con apenas 17 años, se fue a estudiar allí con una beca Fullbright (en la foto: Erdös con Tao en 1985).
Y, last but not least, el problema es relevante por el papel que el proyecto Polymath ha tenido en su resolución. Polymath es un intento de resolver problemas matemáticos importantes y difíciles de forma colaborativa usando la red, una especie de crowdfunding donde, en vez de dinero, se recaudan ideas e iniciativas colectivas que permitan resolver un problema matemático. Lo puso en práctica Timothy Gowers (Cambridge; medalla Fields, 1998) en 2009. Hace cinco años, el problema de la discrepancia de Erdös protagonizó el quinto reto de Polymath. Los esfuerzos colectivos, en los que participó el propio Tao, no cuajaron, aunque en febrero de 2014, A. Lisitsa y B. Konev (U. Liverpool) desarrollaron un programa de ordenador que permitió resolver el problema cuando se toma como número inicial el dos (el caso más sencillo). Se da la circunstancia de que este programa generó un fichero (la demostración, por así decir) de 13 gigabytes, que supuso en su día un record en cuanto a longitud de una demostración matemática.
El problema, sin embargo, quedó prendido entre las neuronas de Tao, quien ha reconocido que debe parte de su resolución a ideas generadas por Polymath5.
Referencias:
La noticia de la resolución se puede leer en la web de Investigación y Ciencia: https://www.investigacionyciencia.es/noticias/demostrada-una-antigua-conjetura-en-teora-de-nmeros-13581
Lo que escribió Gowers sobre Polymath5 y la resolución de Tao en: https://gowers.wordpress.com/2015/09/20/edp28-problem-solved-by-terence-tao/
Una exposición larga (y técnica) del propio Tao sobre su resolución en: https://terrytao.wordpress.com/2015/09/11/the-erdos-discrepancy-problem-via-the-elliott-conjecture/
Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.
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