Solución: El problema de los políticos corruptos

La solución al divertimento “El problema de los políticos corruptos” es la siguiente:

Si \(x\) es el número de billetes que han robado, las condiciones del problema son:
$$
\begin{cases}
x = 4x_1 + 1 \\
3x_1 = 4x_2 + 1 \\
3x_2 = 4x_3 + 1 \\
3x_3 = 4x_4 \\
3x_4 = 4x_5
\end{cases},
$$
donde \(x_1, x_2, x_3, x_4\) son respectivamente el número de billetes que se lleva cada uno
que se va levantando, y \(x_5\) es lo que se queda cada uno en el reparto que se hace por la mañana.
Despejando \(x_1\) en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera,
$$
x=4\Big(\frac{4}{3}x_2+\frac{1}{3} \Big)+1 = 4 \frac{4}{3}x_2+\frac{4}{3} +1
$$
Haciendo lo mismo con las sucesivas ecuaciones resulta
$$
x=4\Big(\frac{4}{3}\Big)^4x_5+\Big(\frac{4}{3}\Big)^2 + \frac{4}{3}+1,
$$
de donde
$$
x=4\frac{256x_5+63}{81}+1.
$$
Para que \(x\) sea entero, \(256x_5+63\) tiene que ser múltiplo de \(81\), es decir,
$$
256x_5+63=81K,
$$
luego
$$
256x_5=81K-63=9(9K-7)
$$
Como \(256\) es primo con \(9\), entonces \(256\) es un divisor de \(9K-7\).
Los primeros múltiplos de \(256\) son \(256\), \(512\), \(768\), \(1024\), \(1280 \ldots\) El primero que es múltiplo de \(9K-7\) es \(1280\).
Por tanto
$$
256 \cdot 5 = 9 \cdot 143 – 7, \qquad 256 \cdot 45 = 9(9 \cdot 143 – 7).
$$
Así pues,
$$
x_5 = 45, x_4 = 60, x_3 = 80, x_2 = 107, x_1 = 143, x = 573.
$$
Robaron \(573\) billetes y el reparto fue así:
El primero se llevó
$$
x_1+x_5=188 \text{ billetes,}
$$
el segundo se llevó
$$
x_2+x_5=152 \text{ billetes,}
$$
el tercero se llevó
$$
x_3+x_5=125 \text{ billetes,}
$$
y el cuarto recogió
$$
x_4+x_5=105 \text{ billetes.}
$$
A la hucha fueron \(3\) billetes.

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Gracias a Juan Luis Varona, Luz Roncal, Emilio Fernández y Manolo Ramos por vuestras respuestas.

 

 (Dibujo de Antonio Fraguas – Forges)