A continuación mostramos la solución al Divertimento En ruta. Gracias a Juan Simón y Alberto Castaño por las soluciones que han aportado.
Divertimento:
Un coche viaja desde A hasta B y vuelve por la misma carretera. Cuando circula cuesta arriba, va a 56 Km/h, cuando circula cuesta abajo va a 72 Km/h y cuando está circulando en llano va a 63 Km/h. Tarda 4 horas en ir desde A hasta B, y tarda 4 horas y 40 minutos en ir desde B hasta A. ¿Qué distancia hay entre A y B por la carretera recorrida?
La pregunta anterior no tiene respuesta única si las velocidades anteriores son tres números cualesquiera. ¿Qué relación deben cumplir dichas velocidades para que pueda obtenerse de forma única la distancia citada?
Solución:
Si denotamos por \(x\), \(y\) y \(z\) los kilómetros cuesta arriba, cuesta abajo y en llano que hay desde A hasta B respectivamente, se tendrá que desde B a A, los kilómetros cuesta arriba, cuesta abajo y en llano serán \(y\), \(x\) y \(z\). Se verifican las siguientes dos ecuaciones:
$$ \begin{cases} \displaystyle\frac{x}{56}+\frac{y}{72}+\frac{z}{63} & = 4 \\ \displaystyle\frac{x}{72}+\frac{y}{56}+\frac{z}{63} &\displaystyle = \frac{14}{3}\end{cases} $$
Resuelto el sistema en función de \(z\), resulta ser
$$ \begin{cases} \displaystyle x= 52.5- \frac{1}{2}z \\ \displaystyle y = 220.5 – \frac{1}{2}z\end{cases} ,$$
de donde resulta que la distancia entre A y B es
$$ x+y+z=273 km.$$
Si las respectivas velocidades son \(v_1\), \(v_2\) y \(v_3\), y los tiempos de viaje desde A hasta B y desde B hasta A son respectivamente \(t_1\) y \(t_2\), el anterior sistema se reduce a
$$ \begin{cases} \displaystyle\frac{x}{v_1}+\frac{y}{v_2}+\frac{z}{v_3} = t_1 \\ \displaystyle\frac{x}{v_2}+\frac{y}{v_1}+\frac{z}{v_3} \displaystyle = t_2\end{cases} ,$$
que resuelto en función de \(z\) queda
$$ \begin{cases} \displaystyle x = M(v_1,v_2,t_1,t_2) – \frac{v_1 v_2}{v_3(v_1+v_2)}z\\ \displaystyle y=N(v_1,v_2,t_1,t_2) – \frac{v_1 v_2}{v_3(v_1+v_2)}z\end{cases} .$$
La distancia entre las tres ciudades es
$$x+y+z=M(v_1,v_2,t_1,t_2)+N(v_1,v_2,t_1,t_2) + z \Big(1- \frac{2v_1v_2}{v_3(v_1+v_2)} \Big).$$
El problema tendrá solución única cuando se cumpla la relación
$$v_3=\frac{2v_1 v_2}{v_1+v_2}, $$
es decir, cuando \(v_3\) sea la media armónica de \(v_1\) y \(v_2\).
Otra manera: dados a, b y c números reales positivos, los vectores (a,b,c), (b,a,c) y (1,1,1) son linealmente dependientes si y sólo si a+b=2c.
Me gusta. ¿Habrá más problemas?
Sí, un problema cada dos semanas. Se publican los viernes.