Cuando Terry Tao y Ben Green publicaron en 2004 su prueba de que existen progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente grandes, los especialistas en teoría de números quedaron desconcertados. Algunos llamaron a sus colegas analistas: ¿Quién es Terry Tao? ¿un loco? La respuesta fue contundente: no, es un genio.
El desconcierto se debió a que las técnicas usadas no se parecían en nada a las habituales en teoría de números. Terry Tao había trabajado principalmente en análisis armónico y su prueba usaba todas las herramientas analíticas desarrolladas en la última mitad del siglo XX.
Hace unos meses se ha repetido la proeza: J. Bourgain, C. Demeter y L. Guth han resuelto la Conjetura Principal de Vinogradov.
El que comentamos es un resultado que hace historia. En mi opinión es probablemente el mejor trabajo publicado en el pasado año. Resuelve un problema muy duro que ha sido pensado por los mejores matemáticos durante más de 50 años sin éxito. Y lo resuelve de una manera totalmente inesperada, transformándolo en un problema de análisis armónico al que se pueden aplicar las herramientas desarrolladas para problemas aparentemente no relacionados.
El matemático soviético I. M. Vinogradov (1891-1983), presidente durante casi medio siglo del Instituto Matemático Steklov y laureado con la orden del Héroe de los Trabajadores Socialistas, desarrolló un método con el que pudo hacer avances sorprendentes en diversos problemas de teoría de números tales como
- Problema de Waring
- Acotación de la función zeta de Riemann \(\zeta(s)\).
- Problema de los divisores de Dirichlet
Curiosamente todos se reducen en alguna forma a la acotación de sumas de exponenciales
$$S=\sum_x e^{2\pi i h(x)}$$
Naturalmente la suma es en módulo siempre menor que \(X \), el número de sumandos. Pero a menudo uno puede encontrar cotas mejores \(rX\) con \(0<r<1\). Dados tres números \(X, k\) y \(s\), Vinogradov consiguió transformar el problema de acotar sumas de ciertas exponenciales en el problema de acotar el número de soluciones enteras positivas, cada una de ellas menor que \(X\), de cierto sistema de \(k\) ecuaciones con \(s\) incógnitas. Si denotamos ese número por \(J_{s,k}(X)\), las técnicas de Vinogradov juegan con el hecho de que el número de soluciones puede escribirse como una integral múltiple
$$J_{s,k}(X)=\int_0^1\cdots\int_0^1 \Bigl|\sum_{x=1}^Xe^{2\pi i f(x)}\Bigr|^{2s}\,d\alpha_1
\cdots\,d\alpha_k$$
donde \(f(x)=\alpha_1x+\alpha_2x^2+\cdots +\alpha_k x^k\).
Los resultados de Vinogradov han sido afinados con los años. Últimamente los mayores avances se debían a Trevor Wooley de la Universidad de Bristol quién en 2010 propuso la Conjetura Principal de Vinogradov:
Conjetura Principal de Vinogradov. Para todo \(\varepsilon>0\)
existe \(C=C(\varepsilon, k,s)\) tal que
$$J_{s,k}(X)\le C X^\varepsilon(X^{2s}+X^{2s-\frac12k(k+1)}).$$
Se sabe que \(X^{2s}\) y \(X^{2s-\frac12k(k+1)}\) son cotas inferiores de \(J_{s,k}(X)\) así que no podemos esperar mucho más que la Conjetura Principal.
La prueba de Bourgain, Demeter y Guth comienza por transformar el problema en un problema de análisis. Una palabra clave en la prueba es la de desacoplamiento (decoupling en inglés). Un ejemplo de desacoplamiento es el teorema de Pitágoras. En efecto, dado un vector \(u\) escribamos \(\Vert u\Vert \) para su longitud. La desigualdad triangular para la longitud, junto con la desigualdad para las medias geométrica y aritmética (\(ab\le (a^2+b^2)/2\)) nos permiten fácilmente concluir que siempre
$$ \Vert u+v\Vert^2\le 2(\Vert u\Vert ^2+\Vert v\Vert^2) .$$
Si queremos disminuir esa cota obtenida, \(2\), es necesario imponer nuevas hipótesis pues para \(u=v\), esa desigualdad se convierte en igualdad.
Ahora bien, si \(u\) y \(v\) fueran vectores perpendiculares el teorema de Pitágoras establece que
$$ \Vert u+v\Vert^2=\Vert u\Vert ^2+\Vert v\Vert^2 .$$
Y esta segunda igualdad supone una mejora evidente sobre la desigualdad general anterior. A eso precisamente se le llama un desacoplamiento: son ciertas hipótesis que permiten alcanzar una desigualdad más fuerte que otra de partida.
Bourgain, Demeter y Guth prueban una desigualdad de desacoplamiento para una transformada de Fourier en curvas del tipo
$$E_J g(x)=\int_Jg(t) e^{2\pi i(tx_1+t^2x_2+\cdots t^k x_k)}\,dt, J\subset [0,1],$$
donde \(g\) es una función del intervalo \([0,1]\) en los complejos (para aquellos lectores ávidos de sensaciones fuertes, incluimos el desacoplamiento al final de la entrada).
La demostración de la desigualdad es sumamente complicada, pero de ella se implica sin demasiada dificultad la conjetura principal de Vinogradov.
Aplicaciones.
Entre las aplicaciones tenemos las relativas al problema de Waring. Se sabe que existe un número \(g=g_k\) tal que cualquier número \(N\) suficientemente grande es la suma de potencias \(k\)-ésimas de \(g\) números:
$$ N=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_g^k $$
Usando la conjetura principal podemos probar que hay cierta constante \(C\) tal que \(g<k^2-k+C\sqrt{k}\). Anteriormente solo se sabía que \(g<a k^2\) donde el número \(a\) vale \(a=1.540\dots\). Todavía queda campo por explorar ya que razonamientos heurísticos hacen pensar que \(g=k+1\).
Una segunda aplicación del método de Vinogradov se refiere a acotaciones de la función zeta de Riemann $\latex \zeta(s)$. Las mejoras en la conjetura principal, sin embargo, no han tenido ninguna repercusión. Pero hay que añadir que las técnicas de desacoplamiento habían sido aplicadas directamente a este problema por Bourgain [2] habiendo obtenido que para todo \(\varepsilon>0\) existe una constante \(C\) tal que
$$|\zeta(\textstyle{\frac12}+it)|\le C|t|^{\frac{13}{84}+\varepsilon}.$$
Sin usar el desacoplamiento, Huxley (2005) había probado esto con el exponente \(\frac{32}{205}\).
(Notar que \(\frac{32}{205}=0.156098>0.154762=\frac{13}{84}\).)
Habría que decir que no parecen técnicas adecuadas al problema de la acotación de \(\zeta(\frac12+it)\) ni las de Huxley ni las de Bourgain. Ya que en este caso la «Conjetura Principal» es la Conjetura de Lindelöf. Para todo \(\varepsilon>0\) existe una constante \(C\) tal que
$$|\zeta(\textstyle{\frac12}+it)|\le C|t|^{\varepsilon},\qquad |t|>1.$$
Esto sería consecuencia de la hipótesis de Riemann, pero en realidad es equivalente a una afirmación sobre los ceros de la función zeta que es mucho menos exigente.
Para saber mas:
Referencias:
[1] Jean Bourgain, Ciprian Demeter, y Larry Guth, Proof of the main conjecture in Vinogradov’s mean value theorem for degrees higher than three, Ann. of Math. (2) 184 (2016) no.2,633-682.
[2] Jean Bourgain, Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function, J. Amer. Math. Soc. 30 (2017) no.1 205-224.
[3] Jean Bourgain, On the Vinogradov mean value, arXiv:1601.08173v1 (2016).
[4] M. N. Huxley, Exponential sums and the Riemann zeta function, V, Proc. London Math. Soc. (3) 90 (2005) no. 1, 1-41.
[5] Trevor, D. Wooley, Translation invariance, exponential sums and Waring’s problem, arXiv:1404.3508v1.
Para lectores ávidos de emociones, he aquí la desigualdad de desacoplamiento de Bourgain, Demeter y Guth:
$$\Vert E_{[0,1]}g\Vert_{L^{k(k+1)}(\omega_B)}^2\ll \delta^{-\varepsilon}
\Bigl(\sum_{J\subset[0,1], |J|=\delta}\Vert E_{J}g\Vert_{L^{k(k+1)}(\omega_B)}^2\Bigr).$$
donde \(\omega_B\) es (esencialmente) una bola arbitraria en \({\mathbb R}^k\), y \(L^{k(k+1)}(\omega _B)\) denota el espacio de funciones \(f\) definidas en \(\omega _B\) tales que \(|f(x)|^{k(k+1)}\) es integrable. El desacoplamiento se refiere a que en el lado izquierdo de la integral \(E_{[0,1]}g\) es en todo el intervalo y en cambio en el lado derecho solo aparecen \(E_{J}g\) en pequeños subintervalos que forman una partición de \([0,1]\).
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