Solución: El circuito de «running»

Publicamos la solución al divertimento El circuito de «running». Gracias a Manolo Ramos, y a Alberto Castaño y Natalia Luna por vuestras soluciones.

Divertimento:

Una pista de entrenamiento de atletismo está formada dos óvalos, uno dentro de otro y con un punto común que permite pasar de un óvalo a otro. El exterior mide 110 metros (11 decámetros) y el interior 70 metros (7 decámetros). Para justificar tan extraño diseño, el arquitecto argumenta que poniendo la salida en el punto donde ambos óvalos se tocan, es posible hacer un recorrido de cualquier número entero de decámetros por encima de 80 decámetros (carreras de medio fondo o de fondo) poniendo la meta en el mismo punto de salida.

¿Cuántas vueltas hay que dar a cada óvalo para recorrer 1500 metros?

¿Es cierta la afirmación del arquitecto?

Solución:

Para resolver este divertimento, vamos determinar dos números enteros \(a\) y \(b\) que cumplan

$$a \cdot 11 + b \cdot 7 =1.$$

La existencia de tales números está relacionada con la Identidad de Bézout. En este caso, podemos tomar \(a=2\) y \(b=-3\), de modo que

$$ 11 \cdot 2 – 7 \cdot 3 = 1.$$

Por tanto, para cualquier número \(N\), que representa la distancia en decámetros,

$$ 11 \cdot 2N – 7 \cdot 3N = N.$$

Transformamos esta diferencia en una suma añadiendo un número entero \(k\):

$$ 11 \cdot (2N – 7k) + 7 \cdot(11k- 3N) = N.$$

Por tanto, para poder recorrer una distancia \(N\) en decámetros, es suficiente que exista \(k\) de modo que \(2N – 7k \geq 0\)  y \(11k- 3N \geq 0\), lo cual conduce a las desigualdades

$$ \frac{3}{11}N \leq k \leq \frac{2}{7}N.$$

Para una distancia de 1500 metros, se tiene que \(N=150\), y de la desigualdad anterior tenemos \(40.9 \leq k \leq 42.9\). Por tanto, hay dos valores válidos de \(k\), que son \(k=41\) y \(k=42\), y que conducen a las siguientes combinaciones:

• Si \(k=41\), entonces \(150=13 \cdot 11 + 1 \cdot 7\), es decir, 13 vueltas al circuito de 11 decámetros y una vuelta al circuito de 7 decámetros.
• Si \(k=42\), entonces \(150=6 \cdot 11 + 12 \cdot 7\), es decir, 6 vueltas al circuito de 11 decámetros y 12 vueltas al circuito de 7 decámetros.

Por otra parte, como afirma el arquitecto, es posible hacer un recorrido de cualquier número entero de decámetros superior a 80 comenzando y terminando en el punto que une los óvalos. La longitud del intervalo al que pertenece el parámetro \(k\) es

$$ \frac{2}{7}N – \frac{3}{11}N = \frac{1}{77}N.$$

Para \(N \geq 77\), esta longitud es mayor que uno, por lo que siempre contiene algún número entero, que son los valores aceptables para \(k\).

Además, Alberto Castaño nos ha indicado que, en realidad, puede completarse cualquier número entero de decámetros mayor o igual a 60. ¡Gracias por tu comentario!