Aunque ya queda lejos en el tiempo, Máximo Pradera fue célebre en el cambio de milenio como copresentador, junto a Fernando Schwartz, del programa Lo+Plus. Los dos hacían buena pareja, por un adecuado reparto de papeles entre un joven y pedante Pradera y un amable y maduro Schwartz, a lo que añadía algo de sal y pimienta la presencia fragmentaria de Ana García Siñeriz. El éxito alcanzado hizo que Pradera fichara por Antena 3 para protagonizar en solitario un «late night show» que fue un desastre de audiencia y se canceló a las pocas semanas de su estreno.
Viendo el rol de Pradera en Lo+Plus y su tendencia al histrionismo, a bastantes les sorprendió saber que Pradera era un verdadero experto en música clásica. De hecho, alternaba Lo+Plus con Ciclos en SinfoRadio, un programa con monográficos sobre compositores, orquestas o directores. Pradera ha publicado varios libros de divulgación musical, De qué me suena eso (2005) y, más recientemente, Tócala otra vez, Bach (2016), ambos en la editorial Malpaso. De este último es del que quería yo hablar aquí. La razón es la presencia, mayormente implícita, que en varias partes del libro tienen las matemáticas.
A mí parecer, los 35 ensayos de que consiste el libro son algo irregulares, y la insistencia en cómo usarlos para ligar, muy propia del histrionismo de su autor, algo cansina e insustancial. Lo que no quita para que Pradera, con innegable habilidad divulgativa, aborde asuntos difíciles de trasmitir que tienen que ver con la construcción de melodía, armonía y ritmo en una composición musical y su capacidad para afectar los sentimientos de los oyentes. La mezcla de esos elementos de teoría musical junto con una muy buena elección de historias y anécdotas sobre músicos y compositores –algunas bastante eruditas–, hace que no pocas partes de este libro de divulgación alcancen un grado de sofisticación y profundidad muy de agradecer.
¿Y las matemáticas? Tratándose de un libro que no rehúye cuestiones de teoría musical, difícil sería que las matemáticas no estuvieran presentes –recuérdese la célebre cita de Leibniz: «La música es un ejercicio aritmético inconsciente en el que la mente no sabe que calcula» Música y aritmética–.
Y en el libro de Pradera las matemática están presentes. Unas pocas veces explícitamente, como en el capítulo 20. Allí Pradera rememora la escena de la película Sueños de seductor (1972), donde Woody Allen le pregunta a Diana Keaton sobre qué disco es más oportuno poner en el tocadiscos para ligarte a una chica: uno del pianista de jazz Oscar Peterson o el Cuarteto número 5 del compositor húngaro Bela Bartók. La respuesta de Keaton es: «Pon a Oscar Peterson, pero deja bien a la vista el disco de Bartók para que ella vea que lo tienes». Pradera coincide con Keaton porque: «La música de Bartók es enormemente cerebral y matemática», capaz de generar atmósferas sombrías e inquietantes muy alejadas de la intimidad y calidez más propicias para el flirteo. Y añade el siguiente consejo: «Si lo que quieres es impresionar a tu pareja en la primera cita con un comentario muy pedante sobre el compositor húngaro, puedes decir:
—¡Adoro a Bartók! Su sistema cromático se basa en las leyes de la proporción áurea y especialmente en la serie numérica de Fibonacci.»
Pero las matemáticas sobrevuelan implícitamente otras partes del libro, sin mencionarse siquiera, y de forma más profunda y significativa que esa mención pedante a la razón áurea o la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, cuando se explica la cuestión de los armónicos y su capacidad para modificar el estado de ánimo de quien escucha: «Las cuerdas de un piano o una guitarra (también las columnas de aire de un clarinete o un saxofón) vibran como un todo –escribe Pradera en el capítulo 2–, pero simultáneamente también lo hacen sus partes proporcionales, que pueden expresarse como fracciones o cocientes de la unidad. Esa unidad suministra el timbre audible del sonido y las fracciones dan lugar a los armónicos complementarios: segundo, tercero, cuarto, etcétera. Cuando pulso la tecla del do central en el piano, la cuerda empieza a moverse a una frecuencia de 261,626 hercios (vibraciones por segundo). Mientras la cuerda vibra como un todo, también vibran sus dos mitades (al doble de velocidad) produciendo por debajo un tenue sonido llamado armónico de octava (el intervalo de ocho grados entre dos notas). El quinto armónico es el más importante de la serie: se llama tercera mayor y es crucial para entender los modos mayor y menor, lo cual equivale a entender por qué hay música alegre y música triste».
En lenguaje matemático, los armónicos corresponden con los coeficientes de Fourier, los que permiten expresar una función definida en el intervalo \([0,1]\) como una serie de senos y cosenos de ángulos múltiplos de \(2\pi\). Si consideramos sólo senos tendríamos, bajo ciertas hipótesis no demasiado exigentes, que
$$ f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n{\rm sen} (2\pi nx) $$
donde
$$a_n=\int_0^{2\pi}f(x){\rm sen} (2\pi nx)dx.$$
El armónico fundamental correspondería con el primer coeficiente de Fourier \(a_1\), mientras que los segundos, terceros, etcétera, corresponderían con los siguientes coeficientes de Fourier \(a_2, a_3, \cdots \)
Precisamente las series de Fourier aparecieron con el estudio del problema de la cuerda vibrante realizado por Euler, D’Alembert, Daniel Bernoulli y otros matemáticos de siglo XVIII. La conexión de los coeficientes de Fourier con la vibración de las cuerdas de un violín, por ejemplo, viene pues de inicio, por más sorprendente que pueda parecer, como se deduce de lo explicado en la cita de Pradera, que la relación entre ellos llegué a explicar la capacidad de transformación emocional que la música tiene sobre quienes la escuchan.
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