Solución: Sudoku

Publicamos la solución al Divertimento Sudoku. En esta ocasión, Rafael Jiménez, Abraham del Valle, Manuel Camúñez (alumnos de la facultad de Matemáticas) y Alberto Castaño han propueto soluciones correctas.

¡Gracias a todos por vuestras respuestas!

Divertimento:

Un sudoku 4 x 4 es un cuadrado de 4 unidades de lado, dividido en 4 subcuadrados de 2 unidades de lado cada uno, en el que en cada fila, columna y subcuadrado aparece una y solo una vez una de las cifras 1, 2, 3 y 4, no estando colocadas todas esas cifras en su inicio y sí alguna de ellas, llamadas cifras iniciales.

Por ejemplo, véase el siguiente sudoku 4 x 4:

Como ya suele ser muy conocido, el juego del sudoku consiste en completar las casillas vacías de forma que se cumplan las condiciones indicadas.

La pregunta que te planteamos es la siguiente: ¿cuál es el número total de sudokus 4 x 4 distintos que pueden formarse?

Solución:

La primera fila puede ser cualquier permutación de las cuatro cifras 1, 2, 3 y 4. Habrá, por tanto \(4! = 24\) posibilidades.

Las dos primeras casillas de la segunda fila han de ser ocupadas por las dos cifras que no se encuentran en las dos primeras casillas de la primera fila. Esto puede hacerse de dos maneras distintas, y lo mismo ocurre con las casillas tercera y cuarta de la segunda fila en el subcuadrado superior derecho. De ahí que para la segunda fila haya \(2 \cdot 2 = 4\) posibilidades.

El razonamiento para la tercera fila es análogo al empleado para la segunda. Por tanto, también hay \(2 \cdot 2 = 4\) posibilidades.

Para la cuarta fila ya no queda más que una posibilidad, y tenemos en total \(24 \cdot 4 \cdot 4 = 384\) configuraciones.

Sin embargo, las cuatro siguientes configuraciones no son posibles, porque no cumplen las reglas del sudoku:

Estas \(4\) configuraciones, multiplicadas por las \(4!\) posibilidades para la primera fila, dan un total de \(4 \cdot 24 = 96\) configuraciones imposibles.

Por tanto, el número total de sudokus 4 x 4 posibles es \(384 – 96 = 288\).

El problema puede resolverse directamente mediante técnicas combinatorias. Si tomamos tres cifras distintas entre sí escogidas entre 1 y 4 y otras dos cifras distintas también entre sí (iguales o distintas de las anteriores), el sudoku queda fijado. El número posible de elecciones es entonces \(V_{4,3} \cdot V_{4,2}= 24 \cdot 12 = 288\).