Delantal:
Es innegable el éxito que los sudokus han tenido en casi toda la prensa mundial desde 2005, tras ponerse de moda en Japón un par de décadas antes. Hay muchas cuestiones matemáticas interesantes, como la que se propone en el divertimento de hoy (para sudokus de tamaño \(4\times 4\)).
Los sudokus están relacionados con los cuadrados latinos y con los greco-latinos, que interesaron al mismísimo Leonhard Euler y sobre los que planteó una conjetura que no se resolvió hasta 1960. Un cuadrado latino es un cuadrado dividido en \(n\times n\) casillas y relleno con \(n\) símbolos distintos, cada uno de los cuales aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna. Para un cuadrado greco-latino contamos con dos conjuntos disjuntos de \(n\) símbolos, con cuyas parejas rellenamos el cuadrado de forma que cada símbolo de cada conjunto aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna y no hay dos parejas repetidas en ninguna casilla; se llaman grecolatinos porque Euler usaba como conjuntos de símbolos letras de los alfabetos griego y latino. En 1782, apareció un artículo de Euler mostrando cómo construir cuadrados greco-latinos cuando \(n\) es impar o múltiplo de cuatro. También demostró que no puede haberlos de tamaño \(n=2\); como no fue capaz de construirlos para \(n=6\), conjeturó que no se podrían formar cuadrados greco-latinos si \(n=4k+2\), siendo \(k\) cualquier número natural (aquí se puede encontrar una traducción al inglés del artículo de Euler).
Que efectivamente, no hay cuadrado greco-latinos de tamaño \(6\times 6\) parece que fue demostrado por Thomas Clausen a mediados del siglo XIX, pero su demostración se ha perdido. La primera que se conserva es de un maestro francés llamado Gaston Tarry que la publicó en 1900. El resto de la conjetura de Euler es, sin embargo, incorrecta, como mostraron en 1960 R.C. Bose, S.S. Shrikhande y E.T. Parker (Further results on the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler’s conjecture, Canad. J. Math. 12 (1960), 189-203). Se pueden por tanto construir cuadrados greco-latinos de todos los tamaños con la excepción de \(2\times 2\) y \(6\times 6\).
Divertimento:
Un sudoku 4 x 4 es un cuadrado de 4 unidades de lado, dividido en 4 subcuadrados de 2 unidades de lado cada uno, en el que en cada fila, columna y subcuadrado aparece una y solo una vez una de las cifras 1, 2, 3 y 4, no estando colocadas todas esas cifras en su inicio y sí alguna de ellas, llamadas cifras iniciales.
Por ejemplo, véase el siguiente sudoku 4 x 4:
Como ya suele ser muy conocido, el juego del sudoku consiste en completar las casillas vacías de forma que se cumplan las condiciones indicadas.
La pregunta que te planteamos es la siguiente: ¿cuál es el número total de sudokus 4 x 4 distintos que pueden formarse?
Soluciones:
Envía tus soluciones, antes del domingo 28 de mayo, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 31 de mayo.
Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.
¿Se pide el número de configuraciones iniciales o finales, una vez ya resueltos?
Se pide el número total de formas de completar las 16 casillas con números del 1 al 4 siguiendo las reglas del sudoku: no hay números repetidos en filas ni columnas, ni en cada cuadrado menor de tamaño 2×2.