Circunferencia inscrita

Delantal:

Es increíble la cantidad de problemas que se esconden tras las ternas pitagóricas –algunos de bastante actualidad: véase por ejemplo la entrada Coloreando Ternas Pitagóricas en este blog–. Una terna pitagórica es un trío de números naturales \(a,b\) y \(c\) que corresponden con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, y por lo tanto quedan caracterizadas por verificar \(a^2+b^2=c^2\); es el caso de los números \(3, 4\), y \(5\): \(3^2+4^2=5^2\). Se llaman primitivas si \(a,b\) y \(c\) no tienen divisores comunes. Se conocían al menos mil quinientos años antes de Pitágoras: unas cuantas de ellas aparecen en la tablilla Plimpton 322, desenterrada en Larsa (cerca de Babilonia) y a la que se calculan unos 3.800 años de antigüedad; he aquí dos notables ejemplos de la docena larga de ternas pitagóricas que contiene la tablilla: \(3367, 3456, 4825\) y \(4601, 4800, 6649\). Euclides recogió en los Elementos buena parte de lo que los pitagóricos habían descubierto sobre ellas, y Diofanto también las estudió en su Aritmética. El divertimento de hoy bien podría haber sido propuesto por cualquiera de ellos.

Divertimento:

Dado un número natural \(R\), ¿existe un triángulo rectángulo pitagórico primitivo (es decir, de lados \(a, b\) y \(c\) enteros, con \( \mathrm{mcd}(a,b,c)=1\)) cuya circunferencia inscrita tenga radio \(R\)?

Problema propuesto por Floro Damián.

Soluciones:

Envía tus soluciones, antes del domingo 9 de julio, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 12 de julio.

Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.