Ni elegimos Rector, ni sabemos cómo hacerlo

El modelo

Supongamos dado un colectivo de \(n\) votantes \(P_1, P_2, \dots\) que deben elegir candidatos de un conjunto de \(m\) elementos \(\mathcal{C} = \{A, B, \dots \}\).  Los votantes pueden ordenar libremente las diferentes opciones, según sus preferencias. Queremos encontrar un procedimiento que permita elegir un candidato del modo más democrático posible, atendiendo a los deseos de la mayoría.

Cuando sólo hay dos opciones, parece adecuado el criterio de la mayoría absoluta. Sin embargo, la situación es distinta si el número de opciones es superior o igual a tres. ¿Qué hacer en este caso?

Condorcet

Parece ser que el primero en darse cuenta de que esta cuestión no es simple fue el Marqués de Condorcet, en el siglo XVIII. De nombre Marie-Jean-Antoine Nicolas de Caritat, fue un filósofo, matemático y politólogo francés, alumno de D’Alembert y colaborador entre otros de Voltaire. Tras la Revolución, tuvo la «mala suerte» de alinearse con los Girondins y ser perseguido por los implacables Jacobins, que le encarcelaron y mantuvieron en prisión hasta su muerte, que sobrevino en extrañas circunstancias.

En un trabajo suyo publicado en 1785, exploró lo que hoy se conoce como paradoja de Condorcet: la elección por mayoría puede no cumplir la propiedad transitiva y por tanto conducir a resultados poco coherentes. Y propuso de hecho un método para evitar situaciones aparentemente contradictorias.

Por ejemplo, consideremos un colectivo de 15 votantes que deben priorizar tres opciones, \(A\), \(B\) y \(C\) y que expresan sus preferencias del modo siguiente:

\[
\begin{array}{l}
\text{OPCIÓN $A>C>B$: 6 votos; OPCIÓN $B>C>A$: 5 votos;} \\
\text{OPCIÓN $C>B>A$: 3 votos; OPCIÓN $C>A>B$: 1 voto.}
\end{array}
\]

Aquí, cuando escribimos (por ejemplo) \(A>B\), estamos diciendo que \(A\) es preferida a \(B\).

Si atendemos simplemente al criterio mayoritario, la opción resultante es \(A\). Por el método de doble vuelta, gana \(B\) (en un primer turno \(C\) es eliminada y a continuación \(B\) recibe más votos que \(A\)). Por el contrario, si comparamos por pares, vemos estos resultados:
\[
\text{OPCIÓN $A>B$: 7 votos; OPCIÓN $C>A$: 9 votos; OPCIÓN $C>B$: 10 votos.}
\]
Es decir, \(C\) es vencedora cuando se compara una a una con las demás (este procedimiento para determinar el «ganador» se denomina método de Condorcet). Podríamos estar tentados de decir que la verdadera opción mayoritaria es \(C\), justo la que menos votos recibió de entrada.

Arrow

El pasado 21 de febrero falleció en Palo Alto (California), a la edad de 95 años, Kenneth J. Arrow, economista, escritor y politólogo americano de enorme prestigio, ganador del Premio Nobel de Economía en 1972 junto a John Hicks. Para hacernos una idea de quién estamos hablando, indiquemos que nada menos que cinco de sus antiguos alumnos fueron también ganadores del Premio Nobel. Probablemente su contribución más importante a la teoría económica fue el análisis de los procesos de elección social y, en particular, el conocido Teorema de Imposibilidad, que detallaré más abajo.

¿Cómo elegir a nuestros representantes?

Volvamos a considerar el modelo general presentado al principio de esta entrada. ¿Qué parece razonable pedir a un método de elección para asumir que el candidato electo representa fielmente los deseos del colectivo? Hoy día, se piensa que un buen método debe respetar los tres principios siguientes:

• La condición de Pareto: si todos los votantes prefieren la alternativa \(A\) a la \(B\), entonces debe obtenerse \(A>B\) en la lista de preferencias del grupo.
• La propiedad de monotonía: si \(A>B\) en la lista de preferencias del grupo y un votante cambia su preferencia de \(B\) a \(A\), la opción \(A>B\) debe seguir siendo mantenida.
• La independencia respecto de alternativas irrelevantes: si \(A>B\) en la lista de preferencias del grupo y uno o más votantes cambian sus preferencias sobre otras alternativas (distintas de \(A\) y \(B\)), se debe seguir teniendo \(A>B\) en la lista de preferencias del grupo.

Desgraciadamente, siempre alguna de estas propiedades falla para los métodos que se suelen utilizar. Así, ninguno de los métodos precedentes (mayoría simple, doble vuelta, Condorcet) es independiente respecto de alternativas irrelevantes. De hecho, tenemos el anunciado Teorema de Arrow:

TEOREMA: Si hay al menos 3 alternativas, el único método de elección que satisface las tres propiedades precedentes es la dictadura: se hace lo que decide uno de los votantes, fijado de antemano.

¡Vaya!, el método que desearíamos tener no existe.

Naturalmente, el sistema dictatorial no es deseable; satisface los tres principios tan sólo por tratarse de un caso límite. El Teorema de Arrow simplemente indica que no podemos conseguir un método perfecto; debemos ser modestos y contentarnos con sistemas imperfectos que, llegado el caso, nos dejen medianamente satisfechos.

¿Y a nuestro Rector?

Las ideas que preceden se pueden aplicar en muchos contextos de la vida corriente. Por ejemplo, podemos pensar en cómo organizar la elección del presidente de nuestro club deportivo favorito o nuestra comunidad de vecinos o incluso qué método seguir para conceder la Matrícula de Honor a final de curso …

Pero, desgraciadamente, los miembros de nuestra universidad no tenemos la posibilidad de manifestarnos a favor de uno u otro método para elegir a nuestro Rector. Como bien se sabe, nos caracterizamos por pertenecer a una institución en donde, en vez del sufragio universal, la regla imperante es la votación en Claustro, un método manifiestamente poco representativo, sospechoso de falta de transparencia y exceso de interferencias e intereses ocultos. Algo que las personas de mi edad asocian mucho más al pasado y al pasillo que al progreso. Las consideraciones que preceden son excesivamente «ingenuas» en este ámbito.

Para saber más

[1] E. Hernández, Matemáticas y sistemas electorales, 1998; La elección social: el sueño imposible, 2003; véase https://www.uam.es/personal pdi/ciencias/ehernan/
[2] M.J.A.N. de Caritat (M. de Condorcet), Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, 1785.
[3] K.J. Arrow, A difficulty in the concept of social welfare, The Journal of Political Economy, 1950.
[4] https://www.matifutbol.com/es/guante.html – Véase cómo es elegido Casillas el mejor portero del mundo.