Publicamos la solución al divertimento Circunferencia inscrita. En esta ocasión, Rafael Jiménez, Abraham del Valle, Cristóbal Sánchez-Rubio y Alberto Castaño han propuesto soluciones acertadas. ¡Gracias a todos por vuestras respuestas!
Divertimento:
Dado un número natural \(R\), ¿existe un triángulo rectángulo pitagórico primitivo (es decir, de lados \(a, b\) y \(c\) enteros, con \( \mathrm{mcd}(a,b,c)=1\)) cuya circunferencia inscrita tenga radio \(R\)?
Problema propuesto por Floro Damián.
Solución:
Si el triángulo tiene lados \(a\) (hipotenusa), \(b\) y \(c\), el área es
$$A=\frac{b c}{2}.$$
Por otra parte, el área del triángulo también es el producto del radio de la circunferencia inscrita por el semiperímetro:
$$A=\frac{R(a+b+c)}{2}.$$
Por tanto, se tiene que
$$R=\frac{bc}{a+b+c}.$$
Los lados \(a, b, c\) forman una terna pitagórica primitiva si y sólo si existen dos enteros \(m, n\) tales que \(a=m^2+n^2\), \(b=m^2-n^2\) y \(c=2mn\), con \(m>n\) y \(m\) y \(n\) primos entre sí. Sustituyendo en la expresión del radio y simplificando, resulta
$$R=n(m-n).$$
Esta igualdad puede conseguirse siempre tomando \(m=R+1\) y \(n=R\).
Por tanto, dado un radio \(R\) entero, los valores
$$a=2R^2+2R+1, b=2R+1, c=2R^2+2R$$
dan una terna pitagórica primitiva cuyo triángulo asociado tiene una circunferencia inscrita de radio \(R\).
Se um círculo for inscrito num triângulo pitagórico, o raio é dado por: r=(a + b – c)/2, onde a, b e c são, respectivamente, cateto menor, cateto maior e hipotenusa.