Solución: Circunferencia inscrita

Publicamos la solución al divertimento Circunferencia inscrita. En esta ocasión, Rafael Jiménez, Abraham del Valle, Cristóbal Sánchez-Rubio y Alberto Castaño han propuesto soluciones acertadas. ¡Gracias a todos por vuestras respuestas!

Divertimento:

Dado un número natural \(R\), ¿existe un triángulo rectángulo pitagórico primitivo (es decir, de lados \(a, b\) y \(c\) enteros, con \( \mathrm{mcd}(a,b,c)=1\)) cuya circunferencia inscrita tenga radio \(R\)?

Problema propuesto por Floro Damián.

Solución:

Si el triángulo tiene lados \(a\) (hipotenusa), \(b\) y \(c\), el área es

$$A=\frac{b c}{2}.$$

Por otra parte, el área del triángulo también es el producto del radio de la circunferencia inscrita por el semiperímetro:

$$A=\frac{R(a+b+c)}{2}.$$

Por tanto, se tiene que

$$R=\frac{bc}{a+b+c}.$$

Los lados \(a, b, c\) forman una terna pitagórica primitiva si y sólo si existen dos enteros \(m, n\) tales que \(a=m^2+n^2\), \(b=m^2-n^2\) y \(c=2mn\), con \(m>n\) y \(m\) y \(n\) primos entre sí. Sustituyendo en la expresión del radio y simplificando, resulta

$$R=n(m-n).$$

Esta igualdad puede conseguirse siempre tomando \(m=R+1\) y \(n=R\).

Por tanto, dado un radio \(R\) entero, los valores

$$a=2R^2+2R+1, b=2R+1, c=2R^2+2R$$

dan una terna pitagórica primitiva cuyo triángulo asociado tiene una circunferencia inscrita de radio \(R\).

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