Delantal:
El Divertimento de hoy propone un reto sobre triángulos, esos objetos tan sencillos como sugerentes, por su riqueza en propiedades geométricas. A Montesquieu le sugirieron una reflexión, simple pero profunda, que viene a arrojar luz sobre si los dioses crearon a los hombres o los hombres a los dioses: «Si los triángulos tuvieran un dios, le dotarían de tres lados». Una reflexión muy propia del espíritu crítico e ilustrado que, como pocos, representa Montesquieu (1689-1755), el filósofo y jurista francés, al que se debe la doctrina de la separación de poderes, pieza clave en las democracias modernas. La cita proviene de su novela epistolar Cartas persas; publicada de forma anónima en Ámsterdam en 1721, fue después prohibida en Francia por Guillaume Dubois, cardenal y primer ministro. Le debieron sin duda escocer al abate Dubois las reflexiones brillantes, profundas y críticas que Montesquieu hizo en su novela sobre religión, moral, política y costumbres de la sociedad de su época.
Divertimento:
Si el triángulo \(ABC\) de lados \(a\), \(b\) y \(c\) es isósceles, siendo \(a=b\), y denotamos por \(m_a\) y \(m_b\) las respectivas medianas sobre \(a\) y \(b\), entonces es sabido que \(m_a=m_b\), y por tanto, $$a+m_a=b+m_b.$$
El recíproco de este resultado no es cierto. Proponemos como primer ejercicio de este divertimento comprobar que el triángulo de lados $$a=16, b=8, c=\sqrt{114} $$ cumple la desigualdad anterior, y evidentemente no es isósceles. Pero sí es cierto que un triángulo es isósceles si y sólo si $$a+\frac{2}{3} m_a = b+\frac{2}{3} m_b.$$ Evidentemente, si el triángulo es isósceles, cumple esta igualdad; por tanto, proponemos como segundo ejercicio de este divertimento el siguiente: sea \(G\) el baricentro del triángulo \(ABC\). Si se verifica $$AB+GC=AC+GB,$$ entonces el triángulo es isósceles.
Soluciones:
Envía tus soluciones, antes del domingo 1 de octubre, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 4 de octubre.
Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.
Você sabia que existem triângulos isósceles com mesma área e perímetros diferentes?
Por exemplo: o triângulo isósceles com base igual 8cm, altura igual a 3cm e lados iguais 5cm, tem uma área igual a 12cm^2 e um perímetro igual 18cm. Por outro lado, o triângulo isósceles com base igual 6cm, altura igual a 4cm e lados iguais 5cm, tem uma área igual a 12cm^2, mas o perímetro é igual 16cm.