Por así decir, un fractal es un conjunto anómalo para nuestros sentidos, aunque esa anomalía tiene que ver con la manera en que estos perciben el espacio; la rareza de un fractal es, por tanto, sensorial y no matemática. En la esencia de esa anomalía está el concepto de dimensión espacial, concepto que el matemático alemán Felix Hausdorff (1868-1942) enriqueció notablemente en 1919. A Hausdorff le parecía muy pobre la forma clásica en que se entendía, tanto matemática como filosóficamente, la dimensión de un objeto y, por ende, encontraba muy simplona la correspondiente clasificación de los cuerpos atendiendo a su dimensión. Decía Hausdorff que era muy poco sofisticado, e incluso incorrecto, decir que un objeto tiene dimensión uno si sólo tiene longitud ―un hilo, o un muelle, por ejemplo―; dimensión dos si además de longitud tiene anchura ―una hoja de papel o la superficie de una esfera―; y dimensión tres si además de longitud y anchura tiene también altura ―una esfera o una caja de zapatos―. Para enriquecer el concepto clásico de dimensión, Hausdorff propuso una noción mucho más sofisticada y rica desde el punto de vista matemático. La noción de Hausdorff permite medir de manera mucho más precisa la dimensión de un objeto; resulta así que, contra lo que nuestra intuición sensorial nos dice, hay objetos con dimensiones fraccionarias, digamos con dimensiones 1/2 o 5/3, o, incluso, \(\sqrt 5\), o todavía números peores. Más de medio siglo después de que Hausdorff precisara su nuevo concepto de dimensión, Benoît Mandelbrot (1924-2010), un matemático de origen polaco aunque criado en Francia, bautizó con el nombre de «fractales» a esos conjuntos cuya dimensión de Hausdorff es fraccionaria.
Una de las más sorprendentes aplicaciones de los fractales tiene que ver con la creación artística de Jackson Pollock. El pintor norteamericano fue prototipo de artista maldito, con problemas con el alcohol y esas cosas. Murió en 1956 en un accidente de tráfico con tan solo 44 años. Peggy Guggengheim fue su mecenas. «El pintor moderno ―dijo una vez Pollock― no puede representar esta época del avión, la bomba atómica y la radio, con el viejo estilo renacentista. Cada época tiene su propia técnica». Fiel a esa máxima, creó a mediados de la década de los cuarenta el expresionismo abstracto. Para ello usaba grandes lienzos a los que aplicaba su técnica del «drip and splash» o «goteo y rociadura». En 1946 convirtió un enorme granero de Long Island en su estudio; sobre el suelo colocaba las telas. «Aumenta así la intimidad con lo que pinto; me hace sentirme parte de la pintura, puesto que puedo moverme alrededor, trabajar desde los cuatro lados y estar, literalmente, en la pintura. Por eso intento mantenerme al margen de los instrumentos tradicionales, como el caballete, la paleta y los pinceles. Prefiero los palos, las espátulas y la pintura fluida que gotea y se escurre, e incluso un empaste espeso a base de arena, vidrio molido u otros materiales». Un crítico dijo: «Esa pintura no es arte; simplemente es. No es una pintura de una cosa, es la cosa en sí, no reproduce la naturaleza, es naturaleza». Los cuadros de Pollock destilan movimiento, ritmo gráfico, vitalidad no exenta de violencia; y, a la vez, una profunda ternura.
En 1999, unos científicos australianos, R. Taylor, A. Micolich y D. Jonas, publicaron un artículo en Nature donde anunciaban que los cuadros de Pollock de la época «drip and splash» tenían estructuras fractales, generadas tanto por como escurría la pintura ―diferencias en la anchura de las gotas y regueros―, como por la configuración geométrica que seguían los regueros que derramaba el pintor en sus vuelos alrededor del cuadro. Los científicos llegaron a medir la dimensión fractal de esas estructuras. Sus cálculos mostraban que esa dimensión empezó a tomar valores mayores que 1 ―es decir, su pintura empezó de verdad a ser fractal― a mediados de la década de los cuarenta; a partir de entonces fue en aumento constante y progresivo hasta alcanzar en 1952 valores cercanos al 1’7 para la dimensión de los patrones caóticos generados por el escurrir de la pintura, y 1’9 para la dimensión de las configuraciones caóticas debidas al movimiento de Pollock. El patrón de crecimiento de esos números era tan uniforme, tanta era su regularidad en las obras analizadas, que podía ser usado para determinar la autenticidad de las obras de Pollock, e incluso para datarlas.
Es imposible que Pollock pudiera controlar adrede esas dimensiones fractales, y seguro que ni siquiera sabía nada del carácter fractal de sus cuadros. Era pura intuición, puro estilo. Se conoce bien la forma de trabajar que tenía Pollock, hay películas que muestran como creaba. Tocaba y retocaba una y otra vez; y añadía gotas por aquí y regueros por allí en un proceso que podía llevar meses hasta dar un cuadro por acabado. La cosa era compleja y se sabe que descartó muchos lienzos con los que no se sentía satisfecho; y que recortó los bordes de otros porque allí su pintura no era tan retorcida como en el resto del cuadro. Esas dimensiones fractales tan características, que los científicos australianos lograron calcular, no son sino una medida del estilo artístico de Jackson Pollock.
Referencias
A.J. Durán, Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas, Destino, Barcelona, 2009.
R. Taylor, A. Micolich y D. Jonas, Fractal analysis of Pollock’s drip paintings, Nature, 399 (1999), 422.
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