Solución: Relojes de Péndulo

Publicamos la solución al divertimento Relojes de Péndulo. En esta ocasión, ha sido Cartesiano Caótico quien ha dado con la respuesta acertada.

Divertimento:

Un relojero tiene dos relojes de péndulo mal ajustados. Uno adelanta un minuto al día y otro atrasa minuto y medio al día. Si se ponen en hora hoy a las 12 de la noche, ¿cuándo volverán a coincidir y qué hora será de verdad?

Solución:

La velocidad angular del minutero del primer reloj es $$\frac{2 \pi + \pi / (30 \cdot 24)}{60} \frac{rad}{min},$$ mientras que la del segundo será $$\frac{2 \pi – \pi / (20\cdot 24)}{60}\frac{rad}{min}.$$ Los dos relojes coincidirán en la misma hora cuando la diferencia entre los ángulos que describen uno y otro minutero sea de 12 horas. Es decir, que el tiempo \(t\) transcurrido hasta que vuelvan a coincidir cumple $$ \Big(\frac{2 \pi + \pi / (30\cdot 24)}{60} – \frac{2 \pi – \pi /( 20\cdot 24)}{60}\Big) t = 12 \cdot 2 \pi,$$ de donde $$t= \frac{24\cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}{5} \, min= 288 \text{ días},$$ es decir, coincidirán cuando sean las 12 de la noche del día 288.

El primer reloj habrá recorrido $$\frac{2 \pi + \pi / (30 \cdot 24)}{60} \cdot \frac{24 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}{5} rad,$$ que son \(6916,\!8= (288 \cdot 24 + 4.8)\) vueltas, es decir, marcará las 4 horas 48 minutos del día 288. El segundo reloj habrá recorrido $$\frac{2 \pi – \pi / (20 \cdot 24)}{60} \cdot \frac{24 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}{5} rad,$$ que son \(6904,\!8= 287 \cdot 24 + 16.8\) vueltas, es decir, marcará las 16 horas 48 minutos del día 287.