Las Matemáticas, para muchos, son cosa de lápiz, papel y cerebro. Esto es lo que han defendido casi todos los matemáticos serios desde el principio de los tiempos. Es más, como bien saben los matemáticos, para probar un teorema o una proposición no vale con mostrar que funciona en un par de ejemplos concretos, sino que hay que usar ese infalible método deductivo que instauraron los griegos hace ya mucho tiempo. Dos ejemplos elementales pero no por ello menos interesantes son la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 o la infinitud de los números primos. No obstante ha habido sonados casos donde el lápiz y el papel se han tenido que complementar con los ordenadores generando, como no, gran controversia. Uno de ellos es el «famoso»‘ Teorema de los cuatro colores (una historia del mismo se puede leer en este enlace) que no vamos a tratar aquí.
Así pues, nos encontramos con el dilema: ¿puede un ordenador hacer o no una prueba matemática? ¿Está capacitado para ello? Está claro que esta es una idea interesante y podríamos escribir mucho sobre ella (de hecho hay ríos de tinta que discuten este problema). Aunque no es este el objetivo de esta entrada, hemos de tener en cuenta que al final un ordenador lo que hace es lo que le ha programado un ser humano, pero de eso ya hablaremos en otra oportunidad. Por cierto, de la presunta inteligencia de los ordenadores se ocupó otro de los grandes genios del siglo XX: Alan Turing.
Lo cierto es que hasta mediados del siglo XX las matemáticas se hacían únicamente con lápiz y papel lo cual requería una destreza poco habitual ya que muchos problemas, especialmente los aplicados como, por ejemplo, el cálculo de las órbitas de los planetas o el recorrido de un proyectil balístico, requerían cálculos de una gran precisión y complejidad. Es aquí cuando entran en juego los ordenadores. Uno de los primeros en sugerir el uso de ordenadores para estudiar problemas que eran impensables resolver con lápiz y papel fue el genial físico Enrico Fermi (1901-1954), pero antes de hablar del problema de Fermi conviene incluir una breve historia de los ordenadores modernos.
La aparición de los ordenadores electrónicos se remonta a finales del 1945, principios del 1946 y estuvo muy relacionado con el esfuerzo de los aliados (en este caso americanos y británicos principalmente, aunque fueron los polacos quienes habían comenzado a intentarlo antes del estallido de la Segunda Guerra Mundial) por descifrar los famosos códigos alemanes. Dado el tremendo volumen de cálculo necesario para ello empezaron a construir máquinas que los realizaran automáticamente. Las primeras eran electromecánicas, las llamadas máquinas bombas de Turing, que luego transformaron en calculadoras electrónicas denominadas Colossus. No obstante se considera que la primera máquina totalmente digital fue ENIAC (acrónimo de Electronic Numerical Integrator And Computer, es decir Computador e Integrador Numérico Electrónico) construida en la Universidad de Pensilvania, EEUU. Su programa estaba conectado al procesador y debía ser modificado manualmente, es decir si queríamos resolver un problema distinto había que cambiar cada vez las propias conexiones en el ordenador, i.e., cambios en el programa (software) implicaban cambios en la estructura de la máquina (hardware), trámite que tardaba varios días o semanas en completarse.
Fue el polifacético matemático John von Neumann quien propuso que se separaran los programas (software) del hardware, por lo que se le considera el padre de los ordenadores modernos. La digna sucesora de ENIAC fue MANIAC-I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Calculator) construida en 1952 en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en los Estados Unidos (laboratorio donde se desarrollaron las bombas atómicas y de hidrógeno del ejército norteamericano) y que ya estaba diseñada según la idea de von Neumann. Estas primeras computadoras eran enormes y tremendamente caras. ENIAC, por ejemplo, pesaba 27 toneladas, ocupaba 167 metros cuadrados, se tardó un año en diseñarla y año y medio en construirla, y costó cerca de medio millón de dólares de la época (más de seis millones de dólares actuales). Así que no es de extrañar que durante bastante tiempo pocas instituciones tuvieran alguna de estas máquinas, que usualmente eran financiadas por el gobierno ya que su uso era esencialmente militar (ENIAC calculaba tablas balísticas para el ejército norteamericano y MANIAC-I se usó en los cálculos de las bombas atómicas norteamericanas).
Regresemos nuevamente al problema de Fermi. Acabada la guerra el Laboratorio Nacional de Los Álamos siguió dedicándose a la investigación militar por lo que disponía, como ya mencionamos, de una de las primeras computadoras electrónicas: MANIAC-I. Aprovechándose de ello a mediados de 1952 Fermi propuso resolver numéricamente con su ayuda un problema que apriori no tenía ninguna aplicación militar. El problema en cuestión consistía en estudiar un modelo de osciladores no lineales acoplados. El caso más simple que podemos imaginar es un conjunto de masas conectadas entre si por muelles estando las masas de los extremos fijas a la pared como el de la figura:
solo que la interacción era, en vez de proporcional a la deformación del muelle, una función no lineal de la misma (por ejemplo una función cuadrática).
Lo que Fermi buscaba era entender un problema clásico de la mecánica estadística conocido como «flecha del tiempo» y que tiene que ver con la aparente irreversibilidad de ciertos procesos físicos, problema nada trivial y que no discutiremos en esta entrada. Así que Fermi convenció a un equipo de competentes investigadores que por aquel entonces trabajaban en el Laboratorio: el especialista en computación John Pasta (1918-1984), el matemático Stanislaw Ulam (1909-1984) y, la hasta hace poco olvidada Mary Tsingou (1928-) física y matemática que fue quien programó MANIAC-I, y se pusieron a trabajar en el problema de una cadena con 16, 32 y 64 masas resolviendo numéricamente las ecuaciones nolineales del modelo.
No vamos a entrar en los detalles, solo conviene resaltar que era imposible hacer (y lo sigue siendo) esas cuentas a mano, con lápiz y papel, como en los tiempos pre-ordenadores en un tiempo aceptable, así que la única opción era programar un ordenador y ver que resultaba de ello. Esta forma de proceder tan habitual hoy día fue tremendamente revolucionaria en aquella época. Es fácil adivinar que los resultados que obtuvieron fueron sorprendentes para aquella época. Aunque nunca se llegó a publicar el trabajo debido a la prematura muerte de Fermi en 1954, una primera versión fue distribuida como preprint en mayo de 1955 con el título «Studies of nonlinear problems. I». Fue tan influyente el trabajo que años más tarde fue incluido en los Collected Papers of Enrico Fermi, E. Segré (Ed.), University of Chicago Press (1965) p. 977-988, con una introducción de Ulam, y la fecha de su aparición (mayo de 1955) es considerada por muchos científicos como la fecha del nacimiento de la matemática experimental.
A partir de esa fecha, el uso de ordenadores en física, matemáticas y demás ciencias para resolver problemas se hizo habitual. De hecho, los computadores han seguido un lento camino desde que John von Neumann los concibiera, Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou lo usaran por primera vez experimentalmente para resolver lo que hoy conocemos como problema FPUT en los años 50, hasta el día de hoy, en que constituyen un elemento más de nuestro entorno cotidiano. Solo por poner un ejemplo, un smartphone moderno tiene una potencia de cálculo muy superior a la del MANIAC-I, nos cabe en un bolsillo y puede llegar a realizar cientos de miles de ciclos por segundo (recordemos que ENIAC, por ejemplo, ocupaba 167m2, pesaba 27000 Kg, costó más de seis millones de dolares y sólo realizaba 200 ciclos básicos por segundo)
En la actualidad una gran cantidad de personas utiliza diariamente los ordenadores, especialmente para navegar por internet, editar textos, jugar, etc. No obstante, sería deseable que, aparte de los muchos usos lúdicos que sin duda tienen los ordenadores, también seamos conscientes de se pueden utilizar como herramienta para resolver problemas y proyectos relacionados con las matemáticas y demás ciencias (tanto puras como aplicadas). De esta forma se puede, entre otras cosas, comprobar las predicciones analíticas (teóricas) de una teoría mediante experimentos numéricos. Exagerando un poco podemos perfectamente suscribir la afirmación del genial matemático ruso (soviético) V.I. Arnold (1937-2010) quien afirmaba en su ensayo «On teaching mathematics» (Sobre la enseñanza de las Matemáticas, publicado en Russian Math. Surveys 53 (1998), No. 1, 229-236) que «la Matemática es la parte de la Física donde los experimentos son baratos» y que podemos extrapolar no sólo a la física sino al resto de las ciencias experimentales, pero de esto ya hablaremos en otra ocasión.
Lecturas recomendadas:
M.A. Porter, N.J. Zabusky, B. Hu y D.K. Campbell, «Fermi, Pasta, Ulam y el nacimiento de la matemática experimental», Revista Investigación y Ciencia, 395, Agosto de 2009, p. 72-80.
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