Solución: Reparto equilibrado de un sándwich

Publicamos la solución al divertimento Reparto equilibrado de un sándwich. Gracias a Alberto Castaño y a Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que han aportado.

Divertimento:

Un sándwich tiene forma de triángulo rectángulo isósceles. Se desea cortar en dos trozos mediante un único corte recto, de modo que las dos figuras que resulten tengan el mismo área. ¿Cómo se debe cortar para que el corte tenga la menor longitud posible?

Solución:

Consideremos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan \(a\). La superficie del sandwich es
$$
S=\frac{a^2}{2}.
$$
Hay dos formas distintas de cortar el sandwich: desde un cateto a la hipotenusa, o desde un cateto al otro.

Supongamos, en primer lugar, que cortamos el triángulo desde un cateto a la hipotenusa. Obtenemos un triángulo de lados \(x\), \(y\), \(z\). Si se ha divido el sandwich en dos partes de igual área,
$$
\frac{S}{2}= \frac{1}{2} x y \sin 45 = \frac{\sqrt{2}}{4} x y,
$$
de donde
$$
xy= \sqrt{2}S = \frac{a^2}{\sqrt{2}}.
$$
Por tanto, el producto \(xy\) es constante cuando las dos mitades tienen el mismo área. Por otra parte,
por el teorema del coseno se tiene que
$$
z^2 = x^2 + y^2 – 2xy \cos 45 =
x^2 + y^2 – \sqrt{2}xy =
(x-y)^2 + (2- \sqrt{2}) xy.
$$
Si el producto \(xy\) se mantiene constante, el valor mínimo de esta expresión se obtiene para \(x=y\), es decir,
$$
x=y= \frac{a}{\sqrt[4]{2}}, \qquad z^2=(2-\sqrt{2})\frac{a^2}{\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)a^2.
$$

Supongamos ahora que cortamos el triángulo desde un cateto al otro. Obtenemos un triángulo de lados \(x\), \(y\), \(z\). Como en el caso anterior, si se divide el triángulo en dos partes de igual área,
$$
\frac{S}{2}= \frac{xy}{2}, \qquad \frac{a^2}{4}=\frac{xy}{2},
$$
de donde \(2xy=a^2\). En este caso, el producto \(xy\) también es constante cuando las dos mitades tienen el mismo área. De la igualdad
$$
z^2 = x^2 + y^2 =
(x-y)^2 + 2 xy,
$$
se deduce que si el producto \(xy\) se mantiene constante, el valor mínimo de esta expresión se obtiene para \(x=y\), es decir,
$$
x=y=\frac{ a}{\sqrt{2}}, \qquad z^2=2xy=a^2.
$$

Por último, como \((\sqrt{2}-1)a^2 <a^2\), tenemos que el menor corte posible es el que va de un cateto a la hipotenusa.