Matemáticas y vehículos autónomos

Aproximación al tema

Entenderemos que un vehículo autónomo es aquél que puede operar por sí solo de modo análogo a como lo hace un automóvil pilotado por un ser humano. Obviamente, deberá para ello ser capaz de percibir e interpretar el entorno (los obstáculos, la señalización) y decidir la ruta y velocidad apropiadas. El deseo de contar con vehículos autónomos ha motivado un gran esfuerzo por parte de muchas compañías: Google, Daimler AG, BMW, Renault, Nissan, Ford, Volvo, …

En una primera etapa, en el futuro inmediato, es probable que el uso masivo de automóviles autónomos traerá consigo muchas dificultades de tipo práctico: desajustes en los precios, problemas en la seguridad vial, incidencia en los seguros, etc. No obstante, puede que el inconveniente económico sea problemático sólo en una corta etapa inicial; ya se han visto evoluciones similares cuando se han introducido en el mercado sistemas novedosos como el ABS o el “Airbag”. Por otra parte, cabe esperar que, a medio plazo, quede reducido considerablemente el número de accidentes de tráfico (se estima que el 93% de los que se producen tienen su origen en errores humanos). Y la reducción de la siniestralidad conducirá también, transcurrido un tiempo, a una bajada de precios en las primas de seguro.

Para ser justos, mencionaré dos inconvenientes que se ven venir. En primer lugar, la desaparición de un gran número de puestos de trabajo; se dice que, sólo en Estados Unidos, entre el momento actual y el 2030 podría desaparecer el 70% de los puestos de conductores profesionales, lo que equivale a unos 4.4 millones de personas. En segundo lugar, el surgimiento de debates legales y éticos que obligarán a legislar adecuadamente situaciones hasta ahora impensables. Así, cuando ocurra un accidente, ¿a quién se debe imputar? Por otra parte, ante la inminencia de un peligro inmediato, ¿tiene derecho el ocupante a hacerse cargo de la conduccion del vehículo? Peor aún, ¿cómo debe actuar el vehículo en caso de accidente? ¿Debe esquivar a los peatones que cruzan la calle o sacrificar al propio pasajero?

Aunque pueda parecer ciencia-ficción, el automóvil evoluciona con rapidez hacia el vehículo autónomo. Lo que aún no sabemos es cuánto tiempo llevará el proceso de conversión y adaptación que, como vemos, estará lleno de dificultades.

Qué tendremos pronto

Obviamente, la impantación de la conducción autónoma ha de ser progresiva. La estadounidense NHTSA (el equivalente a la DGT en España) ha determinado 5 niveles de conducción, enumerados de 0 a 4. El nivel 0 se identifica con la conducción manual y el nivel 4 con un funcionamiento totalmente automatizado.

Se estima que muy pronto disfrutaremos de un nivel 3 por doquier. Corresponde a vehículos capaces de circular de manera autónoma en la mayor parte de circunstancias posibles pero no en todas. Necesitan por tanto la presencia de un conductor que tome ocasionalmente el control. La idea que tienen los fabricantes es incorporar esta tecnología especialmente para aparcar y también para atascos, vías rápidas y, en general, fases de conducción monótonas y propensas a distracciones.

Algunas marcas han anunciado que incorporarán tecnología de nivel 4 en algunos modelos en fechas próximas (Nissan en 2020, BMW y Ford en 2021, etc.).

Las Matemáticas del vehículo autónomo

El comportamiento del automóvil autónomo está determinado por la solución de un problema de control. Una versión simplificada de éste es como sigue.

Dadas dos funciones \(u=u(t)\) y \(v=v(t)\), definidas en el intervalo temporal \([0,T]\), admitiremos que, para cada \(t\), \(u(t)\) determina la dirección en la que avanza o retrocede el vehículo y \(v(t)\) determina su velocidad. La trayectoria del vehículo está dada por la solución de un sistema diferencial ordinario

$$x_i’ = f_i(x_1,x_2,x_3,x_4;u,v), \ \ i=1,\dots,4, $$

que debe ser completado con condiciones iniciales \(x_i(0) = x_{i0}\). El problema consiste en determinar \(u\) y \(v\) que hagan mínima la cantidad

$$\max_t \ (\max_i |x_i(t) – x_{id}(t)| )$$

en la familia de las \(u\) y \(v\) que verifican \(|u(t)| \leq C_1\), \(|v(t)| \leq C_2\), \(x_i(T) = x_{iT}\) y

$$(x_1(t),\dots,x_4(t)) \in X_{ad}(t),\ \ \forall t \in [0,T]. $$

Los datos de este problema son las funciones \(f_i\), los \(x_{i0}\) y \(x_{iT}\), las funciones \(x_{id} = x_{id}(t)\), las constantes \(C_1\) y \(C_2\) y la familia de conjuntos \(\{ X_{ad}(t) : t \in [0,T] \}\).

Las funciones \(f_i\) determinan el modelo; se deducen de las leyes fundamentales de la mecánica, teniendo en cuenta la estructura del vehículo y el efecto que tienen \(u\) y \(v\) en la trayectoria que debe seguir. Los \(x_{i0}\) y los \(x_{iT}\) son proporcionados por el usuario (indican las posiciones y velocidades iniciales y finales del vehículo). Por otra parte, \(C_1\) y \(C_2\) son constantes positivas que actúan como limitadores de los valores que toman \(u\) y \(v\). Por tanto, están ligadas a las características del automóvil.

Las funciones \(x_{id} = x_{id}(t)\) nos dicen cuál es la trayectoria ideal o deseada; intentamos llevar el vehículo tan cerca de ella como sea posible. Finalmente, para cada \(t\), el conjunto \(X_{ad}(t)\) indica dónde puede estar y con qué velocidad puede viajar el vehículo. Estos últimos datos son los más importantes. Deben ser identificados con la mayor exactitud posible en lo que se conoce como fase de localización-planificación. En la práctica, las herramientas utilizadas son GPS y sensores de alta precisión llamados LIDAR (scanners capaces de medir el nivel de reflectividad de la superficie de un objeto cualquiera, incluido el suelo). Se piensa que, en un futuro inmediato, el coche autónomo podrá recurrir también a la tecnología de automóviles conectados, basada en compartir información sobre las posiciones y velocidades de los vehículos del entorno.

Para saber más:

1. https://www.cochesinconductor.com/
2. https://www.rastreator.com/seguros-de-coche/reportajes/coche-autonomo.aspx
3. https://www.inria.fr/en/news/news-from-inria/cycab
4. Sontag, Eduardo D., Mathematical control theory. Deterministic finite-dimensional systems, Second edition. Texts in Applied Mathematics, 6. Springer-Verlag, New York, 1998.