Solución: Piratas

Publicamos nuestra solución al divertimento Piratas. Gracias a Alberto Castaño y Cristóbal Sánchez-Rubio, que han encontrado el tesoro utilizando números complejos y mediante un meticuloso análisis de ángulos y áreas, respectivamente.

Divertimento:

Cuenta la leyenda que un velero pirata llegó a una remota isla perseguido por galeones españoles y, en ella, el capitán escondió el botín que llevaba a bordo, fruto de sus abordajes. Desembarcó, con sus secuaces, en una playa desierta donde había una palmera y una roca. Clavó en la playa su espada y, desde ella, caminó en linea recta hasta la palmera. Estando en ella giró 90º en sentido contrario de las agujas del reloj y anduvo (siempre en línea recta) la misma distancia anterior, en donde hincó una estaca. Volvió a la posición de la espada y caminó, también en línea recta, hasta la roca y, girando 90º en el mismo sentido de las agujas del reloj, repitió la misma distancia, y del mismo modo, hasta un punto en donde clavó otra estaca. Buscó el punto medio entre las dos estacas y allí ordenó enterrar el tesoro. De inmediato mandó recoger la espada y las estacas para, así, proteger la situación exacta del tesoro. Volvió al barco con su tripulación y siguió con sus fechorías… hasta que pasaron diez años. Entonces volvió a la isla y desenterró el tesoro.
¿Cómo consiguió localizar el tesoro con la ayuda, únicamente, de la situación de la palmera y de la roca, que aún permanecían allí?

Solución:

Se considera un sistema de ejes cartesiano, de forma que la palmera está en \((-a,0)\) y la roca en \((a,0)\).

La espada está en un punto cualquiera \((p,q)\). Siguiendo las instrucciones, la primera estaca está en \((-a+q,-a-p)\) y la segunda en \((a-q, -a+p)\). El punto medio de estos dos, donde está el tesoro es \((0,-a)\), que es independiente de \((p,q)\).

Basta por tanto ir andando desde la palmera a la roca, llegar al punto medio, girar 90º en el sentido de las agujas del reloj y caminar la misma distancia en esta dirección.