Solución:  Un caso particular del Último Teorema de Fermat

Publicamos nuestra solución al divertimento Un caso particular del Último Teorema de Fermat. Gracias a Alberto Castaño por la solución que nos ha enviado.

Este problema pertenece a One Hundred Problems in Elementary Mathematics, de H. Steinhaus.

Divertimento:

Demostrar que, si \(n, x, y, z\) son números naturales, y \(n \geq z\), no se cumple la identidad $$x^n+y^n=z^n.$$

Solución:

Supongamos que se cumple $$x^n+y^n=z^n, \qquad n \geq z.$$ Se tiene que \(x \neq y\), porque en caso contrario se obtendría la igualdad \(2x^n=z^n\), de donde \(\sqrt[n]{2} \in \mathbb{Q}\), lo cual no es cierto. Por simetría, podemos suponer que \(x=\min\{x,y,z\}\).

Utilizaremos la identidad $$x^n=z^n-y^n=(z-y)(z^{n-1} + z^{n-2}y + \ldots + y^{n-1}).$$
Como \(y<z\), entonces \(z-y \geq 1\). Por otra parte, como \(x<y\) y \(x<z\), tenemos que cada uno de los sumandos en el factor de la derecha de la expresión anterior es mayor o igual que \(x^{n-1}\), pues $$z^{n-1-k} y^k > x^{n-1-k} \cdot x^{k} = x^{n-1}, \qquad 0 \leq k \leq n-1.$$ Como hay \(n\) sumandos, tenemos que $$ z^n-y^n > 1 \cdot n \cdot x^{n-1} \geq x \cdot x^{n-1} = x^n,$$ lo cual está en contradicción con la suposición inicial.