Solución: Dividir un cuadrado

Publicamos la solución al divertimento Dividir un cuadrado. En esta ocasión, Alberto Castaño y Rafael González han enviado respuestas acertadas.

Divertimento:

¿Existe un cuadrado de lados enteros que pueda dividirse en tres partes cuyas áreas sean de la forma \(3^n\) o \(7^n\), para algún \(n\)?

Actualización: Se piden todas las descomposiciones de cuadrados de lados enteros en tres trozos de la forma \(3^n\) o \(7^n\), con el mismo \(n\).

Solución:

Si \(n\) es impar, entonces \(3 \cdot 3^n\) es un cuadrado perfecto, y sí puede hacerse la división. Este es el único caso en que es posible.

Como \(3 \cdot 7^n\) nunca es un cuadrado perfecto, la división no puede hacerse únicamente con trozos de área \(7^n\).

Veamos que tomando un trozo de área \(3^n\) y dos de área \(7^n\) no es posible, es decir, que \(3^n + 2 \cdot 7^n\) no es un cuadrado perfecto para ningún valor de \(n\). La última cifra de las potencias de 3 se repite periódicamente:
$$
3^0=1, \quad 3^1=3, \quad 3^2=9, \quad 3^3=27, \quad 3^4=81, \quad 3^5=243 \ldots
$$
La última cifra de las potencias de 7 tiene la misma periodicidad:
$$
7^0=1, \qquad 7^1=7, \qquad 7^2=49, \qquad 7^3=343, \qquad 17^4=2401, \quad 7^5=16807 \ldots
$$
Por tanto, la última cifra de \(3^n + 2 \cdot 7^n\) también se repite con periodicidad igual a 4.
En concreto:

• Si \(n=4k\), la última cifra es 3.
•  Si \(n=4k+1\), la última cifra es 7.
•  Si \(n=4k+2\), la última cifra es 7.
•  Si \(n=4k+3\), la última cifra es 7.

Por otra parte, como los cuadrados de los números de una cifra son 0, 1, 4, 25, 36, 49, 64 y 81, la última cifra de cualquier cuadrado perfecto debe ser \(0, 1, 4, 5, 6\) o \(9\). Por tanto, \(3^n + 2 \cdot 7^n\) no es un cuadrado perfecto para nigún valor de \(n\).

El mismo razonamiento prueba que \(2 \cdot 3^n + 7^n\) no es un cuadrado perfecto para nigún valor de \(n\),
porque la última cifra de \(2 \cdot 3^n + 7^n\) siempre es 3 o 7.