En un artículo del Journal de Crelle publicado en 1878, Georg Cantor propuso su famosa Hipótesis del Continuo. Preguntaba: si consideramos los diversos conjuntos infinitos de números reales, ¿cuántos tipos hay, desde el punto de vista de su potencia? “A través de un proceso inductivo,” le resultaba “plausible” afirmar que hay exactamente dos clases de tales conjuntos. Dicho de otro modo: si C ⊆ R, entonces o bien C es numerable o bien es biyectable con R. Se seguiría de aquí que la cardinalidad de R es la inmediata mayor que la cardinalidad numerable.
Cantor persiguió la demostración de este enunciado durante toda su vida, pero aunque en algún momento creyó haberlo logrado, siempre se le escapaba. Consiguió desde luego muchas mejoras en el planteamiento del problema, y soluciones parciales. En 1895 introdujo los alefs o cardinales transfinitos, de modo que el cardinal de N es \(ℵ_0\) y el cardinal de R se demuestra que es \(2^{ℵ_0}\). También fue capaz de definir, a través de los ordinales numerables, el cardinal \(ℵ_1\). Y en estos términos, la Hipótesis del Continuo toma la famosa forma:
\(2^{ℵ_0} = ℵ_1\).
Por otro lado, en 1884 Cantor había logrado un potente resultado al demostrar que la Hipótesis CH es válida para los conjuntos cerrados de reales.
Años más tarde se consiguió mejorar los resultados de Cantor, estableciendo que los conjuntos de Borel también hacen válida la CH, e incluso en 1917 Suslin demuestra que lo mismo se aplica a los conjuntos analíticos (que son imágenes continuas de conjuntos de Borel). Pero por esta vía no se consiguió llegar más lejos.
Entretanto, había aparecido un resultado negativo importante. En el ICM de 1904, con Cantor presente, el matemático J. König había dado una conferencia demostrando que la cardinalidad del continuo R no es ningún alef. Este resultado estaba mal, pero no por culpa de König sino por haberse apoyado en un teorema incorrecto de la tesis de Bernstein (dirigida por Hilbert). La parte correcta del razonamiento de König implicaba que el cardinal del continuo no puede ser \(ℵ_ω\). Más precisamente, demostró que la cofinalidad \(2^{ℵ_0}\) es distinta de \(ℵ_0\).
El día 14 de febrero pasado, como parte de la jornada principal del Año Cantor en Sevilla, el profesor Joan Bagaría (ICREA) dio una interesante conferencia con el mismo título de esta entrada de blog. Hoy en día sabemos que, sobre la base del sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel, no es posible ir más allá de los resultados anteriores. Lo único que se sabe de CH en base a ZFC es lo que hemos dicho: la hipótesis es verdadera para conjuntos analíticos, pero por lo demás card(R) = \(2^{ℵ_0}\) puede tomar casi cualquier valor (salvo ℵω y otros de similar cofinalidad), si bien hay que añadir por supuesto los importantes resultados de Gödel y Cohen.
El matemático Paul J. Cohen (1934-2007) recibió en 1964 la Medalla Fields por haber demostrado que CH es independiente de los axiomas ZFC. Con esto continuaba el trabajo previo de Kurt Gödel (1906-1978), quien estableció en 1939 que CH es compatible con los axiomas ZFC (y también AC lo es). En ambos casos se emplean métodos de teoría de modelos para lograr el resultado: dado un modelo de ZFC (que se supone consistente), Gödel define el “universo constructible” L y prueba que en dicho modelo “interno” son válidos tanto el axioma de elección AC como la hipótesis CH. Esto implica que CH no es refutable empleando los axiomas ZFC.
Por su parte, Cohen inventó el método de forcing con el cual pudo extender un modelo dado de la teoría ZFC de manera que “se fuerza” que \(2^{ℵ_0}\) obtenga un valor distinto de \(ℵ_1\). Y esto, análogamente, implica que CH no es demostrable empleando los axiomas ZFC. Así pues, la hipótesis de Cantor es un enunciado formalmente indecidible de la teoría axiomática de conjuntos, una incompletitud que surge de manera natural. Por cierto, no es ni mucho menos el único.
La parte más interesante de la conferencia de Bagaría tuvo que ver con los trabajos sobre el tema desarrollados en el último medio siglo. Para muchos matemáticos, después de Gödel y Cohen ya no quedaba nada más que hacer: la CH resulta ser indecidible, y con esto queda explicado por qué Cantor, Hilbert y tantos otros habían fracasado en sus esfuerzos. Pero hay otra manera de ver las cosas, que explicó Gödel ya en 1964 y que comparten muchos especialistas en teoría de conjuntos.
Decía Gödel: “su indecidibilidad a partir de los axiomas aceptados hasta hoy sólo quiere decir que estos axiomas no contienen una descripción completa de esa realidad [a la que remiten los conceptos y teoremas de ZFC. … ] es posible indicar maneras mediante las que se pueda llegar a la decisión de una cuestión que es indecidible a partir de los axiomas usuales.” Se trataba del programa de búsqueda de nuevos axiomas, en particular de axiomas de grandes cardinales, que algunos llaman el Programa de Gödel.
Hay muchos tipos de grandes cardinales, por ejemplo los cardinales inaccesibles, los cardinales medibles, los supercompactos, etc. Algunas cuestiones importantes de la teoría de conjuntos se han podido resolver mediante dichos postulados: un ejemplo es la teoría de los conjuntos proyectivos, que extiende de manera natural la teoría de los conjuntos de Borel y los analíticos (ver arriba). Hay grandes cardinales cuya existencia implica que todo conjunto definible de números reales es, o bien numerable, o bien del card(R). Así pues, el Programa de Gödel tiene sentido y ha resultado fructífero. En 1990 Saharon Shelah y W. Hugh Woodin demostraron precisamente que, si existe un cardinal supercompacto, entonces todo conjunto infinito de números reales que pertenece a L(R) satisface la CH.
Ahora bien, todos los grandes cardinales conocidos son consistentes con cualquier cardinalidad del continuo dentro de las condiciones establecidas por König (cofinalidad no numerable), y por tanto no deciden el problema del continuo. Sabemos que el cardinal de R no puede ser \(ℵ_ω\), entre otros, pero por lo demás puede ser casi cualquier cosa: \(ℵ_2\), \(ℵ_{40}\), \(ℵ_{ω+1}\), etc.
También se han investigado, a partir de D. Martin en los años 1970, los llamados “axiomas de forcing”. El propio Bagaría ha trabajado sobre estos axiomas, entre los cuales destaca el axioma de forcing propio, PFA, para el cual se han podido establecer resultados como los siguientes:
- Si la existencia de un cardinal supercompacto es consistente con ZFC, entonces PFA también lo es.
- PFA implica que \(2^{ℵ_0} = ℵ_2\).
- PFA implica que todo conjunto infinito de números reales en L(R) satisface la Hipótesis del Continuo.
Por último, el prof. Bagaría no dejó de añadir que Hugh Woodin (1955-) está llevando a cabo un programa de construcción de un modelo de ZFC, llamado «Ultimate–L«, que es parecido al universo constructible de Gödel, pero que contiene todos los grandes cardinales. El axioma V = Ultimate–L sería, según Woodin, un axioma razonable de la teoría de conjuntos que implica la Hipótesis del Continuo. La realización de este proyecto se enfrenta a dificultades técnicas muy considerables, pero el trabajo continúa.
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