Solución: Parejas de aproximaciones a pi

Publicamos la solución al divertimento Parejas de aproximaciones a \(\pi\). Gracias a Mª Dolores Cantero Jiménez por la solución que ha aportado.

Divertimento:

Si consideramos las sucesivas aproximaciones por defecto de \(\pi\) , $$3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, 3.1415926, 3.14159265\ldots$$ encontramos parejas de ellas, por ejemplo la segunda y la cuarta o la quinta y la novena, que acaban en el mismo dígito.

Nos preguntamos si habrá también parejas de aproximaciones que acaben en los mismos dos dígitos. En caso afirmativo, querríamos saber si hay un número finito o infinito de tales parejas.

Y puestos a preguntar, nos preguntamos si habrá también parejas de estas aproximaciones que tengan iguales sus últimos 2018 dígitos.

Solución:

Consideremos las primeras 101 aproximaciones a las que quitamos la coma decimal. Los restos de dividir estos números entre 100 (que son los dos últimos dígitos) van desde 00 a 99, y como hay 101 restos, dos al menos deben coincidir.

Obviamente el argumento funciona si se cogen las siguientes 101 aproximaciones y así sucesivamente. De modo que hay infinitas parejas de aproximaciones que tienen iguales sus dos últimos dígitos.

Si se toman las primeras \(10^{2018}+1\) aproximaciones y se repite el proceso dividiendo ahora por \(10^{2018}\), habrá \(10^{2018}+1\) restos (que corresponden a las 2018 últimas cifras) que irán desde \(0 \ldots 0\) hasta \(10^{2018}-1\), por lo que se repetirán dos de ellos.

 

Las anteriores consideraciones se apoyan en el principio del palomar y valen para cualquier sucesión.