Solución: Desfile

Publicamos la solución al Divertimento Desfile. En esta ocasión, Rubén Alba, Cristóbal Sánchez-Rubio, Daniel Gómez y Alberto Castaño han propuesto soluciones acertadas.

Divertimento:

Una compañía de 441 soldados forman un cuadrado de 21 soldados por lado situados a 1 metro uno de otro. En el centro de la primera línea está la mascota, un perro adiestrado que, al empezar a desfilar, empieza a correr a velocidad constante, \(v\), delante de la primera fila de soldados hacia la derecha hasta llegar al soldado de la punta, luego sigue corriendo hacia la izquierda (siempre delante de la primera fila) hasta llegar al soldado de la punta izquierda y luego hacia la derecha de nuevo hasta ocupar la posición que ocupaba al principio en el centro de la fila. Se observa que el perro llega a su posición inicial en el instante en que la última fila de soldados está en la posición que ocupaba la primera.

Admitiendo que la trayectoria del perro está formada por líneas rectas y si la velocidad a la que desfila la compañía es \(V\), se pregunta:

1. ¿A qué velocidad va la mascota, en función de la velocidad de la compañía?
2. Si imaginamos un sistema de referencia de modo que la compañía esté situada en el cuadrado de vértices \((-10,0), (10,0), (10,-20), (-10,-20)\), ¿puedes decir qué trayectoria recorre la mascota?

Solución:

Solución enviada por Rubén Alba Bermúdez.

En su componente vertical, el perro recorre dos veces el lado del cuadrado en el mismo tiempo que la compañı́a recorre 20 metros, esto es, un lado del cuadrado. Por ello, la velocidad del perro es el doble que la de la compañı́a:

$$v_h = 2V.$$

Pero como el perro se mantiene en la primera file, también posee la misma velocidad horizontal que la compañı́a, por lo que la velocidad resultante es:

$$ |v| = \sqrt{V^2 + (2V)^2 } = \sqrt{5} V.$$

Por lo que la velocidad del perro es \(\sqrt{5}\) veces la de la compañı́a.

Con la configuración dada de la compañı́a en el cuadrado de vértices \((−10, 0), (10, 0), (10, −20)\) y \((−10, −20)\), la trayectoria del perro viene dada por la siguiente curva:

$$\begin{cases} (10+Vt,-10-2Vt), & 0<t<5/V \\ (10 + V  t, −30 + 2  V t), & 5/V<t<15/V \\ (10 + V t, 30 − 2 V t), & 15/V <t< 20/V \end{cases}$$