Solución: Un problema de divisibilidad

Todo se basa en el hecho de que para cualquier entero \(k\), $$2^{5k}-1=\left(\sum_{i=0}^{k-1} 2^{5i}\right)(2^5-1).$$ Evidentemente, esta igualdad no depende de que usemos 2 como base o múltiplos de cinco como exponentes, entre otras posibles generalizaciones, pero con eso nos basta.

Así, como 155 es múltiplo de 5 y 31 es \(2^5-1\), tenemos que $$2^{155}-1=\left(\sum_{i=0}^{30} 2^{5i}\right)(2^5-1).$$ A su vez, cada una de las potencias de 32 que sumamos será 1 más otro múltiplo de 31, y como estamos sumando 31 potencias, los unos que van sobrando se suman para dar un 31 más, que cuadra las cuentas. Todo esto se puede escribir como la fórmula
$$2^{155}-1=31^2\left(1+\sum_{i=0}^{30}\sum_{j=1}^i 2^{5(i-j)}\right),$$
donde la suma que empieza en 1 y acaba en 0 debe entenderse nula.

Si ya queremos generalizar todo aún más, usando el mismo argumento podríamos demostrar que, para todos \(a\) y \(k\) enteros positivos (aunque el caso \(a=1\) es trivial) y \(n=a^k-1\), \(a^{kn}-1\) es múltiplo de \(n^2\), ya que
$$a^{kn}-1=n^2\left(1+\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^i a^{k(i-j)}\right).$$