Publicamos la solución al divertimento Escarabajos.
Este problema ha sido propuesto por Jean-Paul Delahaye, a partir de un problema anterior popularizado por Peter Winkler.
Divertimento:
Se colocan nueve escarabajos en un circuito circular cuya longitud es 100 m, de modo que las distancias en metros entre los escarabajos son números primos distintos. En el momento inicial, cada escarabajo comienza a andar en sentido horario o antihorario, al azar, a una velocidad de 1 metro por minuto. Cuando dos escarabajos se chocan, cambian de dirección.
¿Cuáles son las distancias entre los escarabajos cuando hayan pasado 50 minutos?
Solución:
Solución enviada por Alberto Castaño.
La respuesta es que las distancias serán las mismas (que son los nueve primos menores que 25), pero los escarabajos podrían estar reordenados cíclicamente.
En primer lugar, dado que los escarabajos rebotan perfectamente al encontrarse, podríamos imaginar que se traspasan, y que cada uno sigue su camino. Por tanto, al recorrer 50 metros llegaría cada uno al punto opuesto a aquel en el que se encontraba al empezar. Ahora bien, los escarabajos no pueden traspasarse, pero el razonamiento anterior nos demuestra que siempre habrá un escarabajo que llegue al punto opuesto al de partida de cualquier otro. Y como no se traspasan, cada uno se encontrará siempre entre los dos mismos que al empezar su «larga marcha», de ahí que el mayor desorden posible entre ellos no sea más que un ciclo de longitud máxima.
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