Una de las frases que más célebre ha hecho a Galileo afirma que el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático: «La filosofía está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto antes nuestros ojos, al que llamo universo. Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, círculos y figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender una palabra: sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto». La frase es de su libro Il saggiatore, publicado en Roma en 1623 y considerado como pionero del método científico (véase también la entrada Galileo y las matemáticas del universo). Desde mi punto de vista la frase dice mucho menos de lo que luego ha venido a significar. En efecto, en su frase Galileo se refiere explícitamente a triángulos, círculos y figuras geométricas, que obviamente sirven para describir algunos fenómenos físicos; él mismo demostraría en 1638, en su última obra, que la trayectoria seguida por la bala de un cañón es una parábola (en ausencia de rozamiento). Galileo, sin embargo, fue incapaz de reconocer cuál sería la forma que adopta por caída libre una cadena o cable flexible sujeto por sus extremos; curva a la que se acabó llamando catenaria. Galileo pensó erróneamente, al igual que Leonardo da Vinci, que se trataba también de una parábola.
La frase de Galileo, incluso en el año en que la escribió (1623), es una afirmación algo naif que viene a asegurar que determinadas curvas sirven para describir 
adecuadamente algunos fenómenos físicos: así, el lenguaje al que Galileo se refiere vendría a ser la vieja geometría de los griegos. Pero Galileo escribió esa frase en el momento adecuado (o casi), porque ocurrió que pocas décadas después se produjo el descubrimiento del cálculo infinitesimal, la herramienta que iba a dar un sentido tan literal, profundo y trascendente a la frase de Galileo como este jamás hubiera imaginado. Y es que, efectivamente, el lenguaje de la naturaleza es matemático, como afirmó Galileo, sólo que sus caracteres no son triángulos, círculos y figuras geométricas, sino los que provee el cálculo infinitesimal: derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales. Y es que, sin el cálculo infinitesimal no existiría la física moderna, y de hecho y no por casualidad, Newton, uno de los inventores del cálculo, es también uno de los padres de la física moderna.
He aquí un ejemplo de los muchos disponibles para ilustrar este hecho. Se trata del problema antes mencionado de la catenaria: ¿cuál es la curva que forma la caída libre de una cadena o cable flexible sujeto por sus extremos? Como escribí antes, el problema ya interesó a Leonardo da Vinci y al mismo Galileo, que pensaron, erróneamente, que debía de ser una parábola. Los dos carecían de la herramienta necesaria para resolverlo: el cálculo infinitesimal, que permite una precisa formulación de ese problema físico en lenguaje matemático, como paso previo a su resolución. Jakob Bernoulli, el primer discípulo matemático de Leibniz (el otro inventor del cálculo infinitesimal), lanzó en 1690 un reto a los científicos del momento para que resolvieran el problema. Al año siguiente se publicaron en las Acta Eruditorum las soluciones aportadas por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli, el hermano menor de Jakob, todos los cuales identificaban correctamente la catenaria como el coseno hiperbólico. Usando coordenadas cartesianas, podemos llamar \((x,y(x))\) a los puntos de la curva catenaria –para simplificar, supondremos que los puntos por los que está sujeta la cadena están a la misma altura–: su identificación equivale a determinar la función \(y(x)\) cuya representación gráfica corresponde con dicha curva.
Las leyes de la física y los conceptos del cálculo permiten formular una ecuación para la función que resuelve el problema de la catenaria: esta ecuación tiene la forma
$$ a^2(y’)^2-y^2+a^2=0,$$
donde \(y’\) es la derivada de la función \(y\) mientras que \(a\) denota una constante característica del cable que cuelga –para ser precisos: \(a\) es el cociente entre la componente horizontal de la tensión, que es constante, y el peso por unidad de longitud–. A una ecuación como la anterior, donde aparecen ligadas una función \(y\) y su derivada \(y’\), se la llama ecuación diferencial. Que esa ecuación diferencial en concreto describa la solución al problema de la catenaria es un buen ejemplo de hasta qué punto tenía razón Galileo cuando afirmó que el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático, por más que no pudo imaginar que dicho lenguaje sería el del cálculo infinitesimal.
Naturalmente, para completar la solución del problema de la catenaria hay que identificar la función que se esconde detrás de esa ecuación. Esto no es sencillo de hacer, pero en este caso se puede, y lo que se obtiene es el coseno hiperbólico, o dicho de otra forma, la siguiente combinación de exponenciales:
$$ y(x)=a\cosh \frac{x}{a}=a\frac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}.$$
Referencias
A.J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
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