Matemática Misteriosa.

Que la matemática esté llena de misterio, es algo que no suele conocerse. Precisamente el misterio se da en lo desconocido, en las conjeturas. Cuando al fin se demuestran las conjeturas, las intuiciones se convierten en certezas. Al conocer la prueba se desvanece el misterio y queda sustituido por un conocimiento profundo. Algo que no era evidente, que parecía arbitrario, se transforma en necesario. Hoy exponemos uno de estos misterios. Un misterio que todavía lo es.

Para no interrumpir el desarrollo diremos ahora que \(p\) denotará cualquier número primo. \(E_n\), \(B_n\) y \(B_n(x)\) son respectivamente los números de Euler, los números de Bernoulli y los polinomios de Bernoulli, definidos como los coeficientes de los desarrollos en series de potencias
$$\frac{1}{\cos x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n},\qquad \frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n,\qquad \frac{x e^{tx}}{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n(t)}{n!}x^n.$$
\({n\choose m}\) son los números combinatorios y siendo \(p\) un número primo, \(\left(\frac{n}{p}\right) \) es el símbolo de Legendre definido como \(1\) si la congruencia \(n\equiv x^2\pmod p\) tiene solución, \(-1\) si no la tiene y \(0\) cuando \(n\) es divisible por \(p\).

Advertimos también que una congruencia \(\frac{a}{b}\equiv c\pmod{p^r}\) significa que \(a\equiv bc \pmod{p^r}\) y que \(c\) está unívocamente definido por esta condición si \(p\) no divide a \(b\). Las congruencias que usaremos serán válidas salvo para un número finito de primos en cada caso, que por simplificar no detallaremos. El símbolo \(\overset{?}=\) o \(\overset{?}\equiv\) significa que, por lo que sabemos, la igualdad o congruencia es todavía solo una conjetura no probada. Por conjetura entendemos los matemáticos algo que difiere del sentido que le da el diccionario. Entendemos que ha sido comprobada con tantos dígitos o en tan gran número de casos particulares, que hacen muy difícil imaginar que no sean ciertas.

La historia empieza con un trabajo de Ramanujan titulado Modular equations and approximations to \(\pi\), y publicado en 1914 en la revista Quarterly Journal of Mathematics. El artículo tiene dos partes en la primera vemos sorprendentes aproximaciones a \(\pi\) y otras ecuaciones muy notables como
$$e^{\pi\sqrt{58}}=24\;591\;257\;751.999\;999\;822\;21\dots$$
¿por qué es \(e^{\pi\sqrt{58}}\) casi un entero? Ramanujan tenía la respuesta. Pero lo que a nosotros nos interesa está al final del trabajo. Ramanujan obtiene el valor de 17 series, por ejemplo
\begin{align*}
(A)&\qquad \frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{6n+1}{256^n}{2n\choose n}^3,\\
(B)&\qquad \frac{27}{4\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{15n+2}{1458^n}{2n\choose n}^2{3n\choose n},\\
(C)&\qquad \frac{16\sqrt{3}}{3\pi}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{28n+3}{2^{12n}\cdot 3^n}{2n\choose n}^2{4n\choose 2n},\\
(D)&\qquad \frac{9\sqrt{2}}{4\pi}=\sum_{n=0}^\infty\frac{10n+1}{12^{4n}}{2n\choose n}^2{4n\choose 2n},\\
(E)&\qquad \frac{16}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty\frac{42n+5}{4096^n}{2n\choose n}^3,\\
(F)&\qquad \frac{2}{\pi\sqrt{11}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{280n+19}{256^n 99^{2n+1}}{2n\choose n}^2{4n\choose 2n},\\
(G)&\qquad \frac{5\sqrt{5}}{2\pi\sqrt{3}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{11n+1}{54000^n}{2n\choose n}{6n\choose 3n}{3n\choose n},\\
(H)&\qquad \frac{9801\sqrt{2}}{4\pi}=\sum_{n=0}^\infty\frac{26390n+1103}{396^{4n}}{2n\choose n}^2{4n\choose 2n}.
\end{align*}

Hay que decir que Ramanujan enunció durante su vida muchos resultados sin demostración. Pero de estas series sí da una prueba, que para mí es completamente válida. Sin embargo, hay quien presume de haberlas demostrado por primera vez. Yo mas bien diría que las pruebas de Ramanujan eran escuetas y muchos no las entendieron.

Conjeturas de van Hamme.

En 1997 van Hamme hizo una observación sobre las series de Ramanujan. Presentó 13 congruencias sorprendentes asociadas a alguna de las series de Ramanujan. Por ejemplo para cada primo \(p\) van Hamme observa que se dan las congruencias
\begin{align*}
(A’)&\qquad \sum_{n=0}^{\frac{p-1}{2}} \frac{6n+1}{256^n}{2n\choose n}^3\equiv \left(\frac{-1}{p}\right)p\pmod{p^4},\\
(E’)&\qquad \sum_{n=0}^{\frac{p-1}{2}}\frac{42n+5}{4096^n}{2n\choose n}^3\equiv\left(\frac{-1}{p}\right)5p\pmod{p^4}.
\end{align*}
Que podemos comparar con las series (A) y (E) de Ramanujan. Notemos lo sorprendente que son estas congruencias. Cuando \(p\) es un primo grande hay \(p^4\) restos posibles. Es una casualidad enorme que se obtengan precisamente las congruencias anteriores.

Van Hamme obtuvo alguna explicación heurística de sus series. El cuerpo de los números racionales \(\mathbb{Q}\) está dotado del valor absoluto ordinario. Este cuerpo no es completo, por eso las series de Ramanujan toman valores no racionales. Van Hamme veía algunos de los valores de las series de Ramanujan como valores de la función \(\Gamma(s)\). Por ejemplo \(\pi=\Gamma(1/2)^2\). Los racionales \(\mathbb{Q}\) admiten otros valores absolutos. Precisamente uno \(|\cdot|_p\) por cada primo \(p\). Un racional es tanto mas pequeño para \(|\cdot|_p\) cuanto mas grande sea la potencia de \(p\) que contenga. \(5^{1000}\) es muy, muy pequeño desde el punto de vista de \(|\cdot|_5\). El cuerpo \(\mathbb{Q}\) no es completo respecto de estas normas, pero puede completarse. Se obtiene un cuerpo completo \(\mathbb{Q}_p\) para cada primo \(p\), el cuerpo de los números \(p\)-ádicos.

Las series de Ramanujan no son convergentes en \(\mathbb{Q}_p\) de manera que de poco vale todo lo que hemos dicho. Van Hamme sin embargo usa el valor de la serie de Ramanujan para justificar el lado derecho de las congruencias: cambiando el valor de la función \(\Gamma(s)\) por el correspondiente de la función \(\Gamma\) \(p\)-ádica. Van Hamme consigue probar alguna de sus congruencias, pero en eso no le ayuda para nada toda la explicación heurística que ha dado.

Conjeturas de Rodríguez Villegas.

Rodríguez Villegas es argentino aunque ha desarrollado su trabajo principalmente en Estados Unidos. En el año 2001 publica una serie de 22 conjeturas
\begin{align*}
(J’)&\qquad \sum_{n=0}^{p-1} \frac{1}{16^n}{2n\choose n}^2\equiv\left(\frac{-1}{p}\right)\pmod{p^2},\\
(K’)&\qquad\sum_{n=0}^{p-1}\frac{1}{27^n}\binom{2n}{n}{3n\choose n}\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\pmod{p^2}.
\end{align*}
que recuerdan algunas de las de van Hamme. Él las obtiene al contar el número de puntos de una familia de variedades de Calabi-Yau. De otro modo, resultado de contar el número de soluciones módulo \(p\) de una ecuación algebraica.

Lo de contar soluciones módulo \(p\) de ecuaciones o sistemas de ecuaciones algebraicas comienza en el mismo Gauss. En 1949 André Weil reuniendo y ampliando los resultados de Gauss tuvo una visión que conectaba estas cuentas con la homología de la variedad algebraica definida por las ecuaciones y soñó una posible prueba que pasaba por conectar la topología algebraica con la Teoría de Números. Son las conocidas como conjeturas de Weil que fueron la inspiración para que Grothendieck revolucionara la matemática y en particular el Álgebra. La demostración de estas conjeturas se puede decir que ha llenado la matemática de la segunda mitad del siglo XX.

La industria de Sun.

Zhi-Wei Sun es un matemático chino que a partir de 2010 ha elevado el tema a una industria. Busca congruencias y a partir de ellas conjetura el valor de series, o encuentra una serie y su valor, o lo conjetura, y trata de ver cual es la congruencia correspondiente. Tiene dos trabajos en arXiv Conjeturas de congruencias y Conjeturas de series donde encontramos cientos de conjeturas (no todas debidas a él). Por ejemplo, estas parejas serie-congruencia
\begin{align*}
(L)\mskip20mu\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{21n-8}{n^3{2n\choose n}^3}&=\frac{\pi^2}{6},\\
(L’)\qquad \sum_{n=1}^{(p-1)/2}\frac{21n-8}{n^3{2n\choose n}^3}&\equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}}4E_{p-3}\pmod p.
\end{align*}
\begin{align*}
(M)\mskip20mu\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{5n+1}{(-192)^n}{2n\choose n}^2{3n\choose n}
&=\frac{4\sqrt{3}}{3\pi}\\
(M’)\qquad \frac{1}{p}\sum_{n=0}^{p-1}\frac{5n+1}{(-192)^n}{2n\choose n}^2{3n\choose n}&\overset{?}\equiv\left(\frac{-3}{p}\right)+\frac{5}{18}p^2B_{p-2}(1/3)\pmod{p^3}.
\end{align*}
\begin{align*}
(N)\mskip20mu\qquad \sum_{n=0}^\infty\frac{25n-3}{2^n{3n\choose n}}&=\frac{\pi}{2},\\
(N’)\qquad 2p\sum_{n=0}^{p-1}\frac{25n-3}{2^n{3n\choose n}}&\overset{?}\equiv3\left(\frac{-1}{p}\right)+(E_{p-3}-9)p^2\pmod{p^3}.
\end{align*}

Algunas congruencias están relacionadas de forma menos clara con las series
$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{28n^2+18n+3}{(-64)^n}{2n\choose n}^4{3n\choose n}\overset{?}\equiv3p^2-\frac{7}{2}p^5B_{p-3}\pmod{p^6}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(28n^2-18n+3)(-64)^n}{n^5{2n\choose n}^4{3n\choose n}}\overset{?}=-14\zeta(3).$$
Claro que la mas simple de estas no la he visto en Sun, en 1852 Genocchi probó
$$\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{n^3}\equiv-2B_{p-3}\pmod{p}$$
y como es sabido
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\zeta(3).$$

Formas modulares.

Donde hay misterio hay formas modulares. Asociada a cada serie, Sun escribe no una sino dos congruencias. En esta segunda congruencia nos olvidamos del polinomio en \(n\) que suele multiplicar el término de la serie. Así, asociada a la serie que lleva el factor
\((-192)^n\) Sun asocia la segunda congruencia
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{p-1}&\frac{1}{(-192)^n}{2n\choose n}^2{3n\choose n}\equiv\\
&\begin{cases}
x^2-2p\pmod{p^2} & \hbox{si $p\equiv1\pmod3$ y $4p=x^2+27y^2 (x,y\in\mathbb{Z})$},\\
0\pmod{p^2} & \hbox{si $p\equiv2\pmod3$}
\end{cases}
\end{align*}
Esto recuerda lo que ocurre con ciertas formas modulares. Por ejemplo Klein y Fricke en 1892 consideraron la forma
$$q\prod_{n=1}^\infty (1-q^{4n})^6=\sum_{n=1}^\infty a(n)q^n$$
y demuestran que si \(p=x^2+y^2\) con \(x\) impar e \(y\) par, entonces \(a(p)=4x^2-2p\). La conexión es mayor ya que una de las congurencias de van Hamme, demostrada por Mortenson, afirma
$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{1}{64^n}{2n\choose n}^3\equiv a(p) \pmod{p^2}.$$
Las formas modulares son una fuente inextinguible de sorpresas como esta.

Jesús Guillera.

No puedo dejar de mencionar los trabajos de Guillera sobre las series de Ramanujan.
Guillera fue profesor de instituto en Zaragoza. Cuando se jubiló volvió a investigar. Realizó el doctorado bajo la dirección de Eva Gallardo (que fue alumna en nuestra Facultad) y de Wadim Zudilin un notable matemático Ruso que ha vivido en numerosos países. Para el que quiera mas noticias sobre este Ramanujan español le recomiendo la entrada que el País le dedicó.

Guillera se ha hecho famoso por sus series para \(\pi\) del tipo de las de Ramanujan y por sus demostraciones. Entre sus muchas fórmulas, como ejemplo tenemos
$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{20n^2+8n+1}{2^{12n}}{2n\choose n}^5=\frac{8}{\pi^2},$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{120n^2+34n+3}{2^{16n}}{4n\choose 2n}{2n\choose n}^4=\frac{32}{\pi^2}.$$
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{820n^2+180n+13}{2^{20n}}{2n\choose n}^5=\frac{128}{\pi^2}.$$
También Guillera ha encontrado series cuya suma conoce experimentalmente pero que no ha podido probar. Como por ejemplo
$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{5418n^2+693n+29}{2880^{3n}}{6n\choose 2n}
{4n\choose 2n}{2n\choose n}^3\overset{?}=\frac{128\sqrt{5}}{\pi^2}.$$
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1920n^2+304n+15}{2^{18n}7^{4n}}{8n\choose 4n}{4n\choose 2n}{2n\choose n}^3\overset{?}=\frac{56\sqrt{7}}{\pi^2}.$$
A las que Zudilin asocia las congruencias
$$\sum_{n=0}^{p-1}(-1)^n\frac{5418n^2+693n+29}{2880^{3n}}{6n\choose 2n}{4n\choose 2n}{2n\choose n}^3\overset{?}\equiv29\left(\frac{5}{p}\right)p^2\pmod{p^5}$$
$$\sum_{n=0}^{p-1} \frac{1920n^2+304n+15}{2^{18n}7^{4n}}{8n\choose 4n}{4n\choose 2n}{2n\choose n}^3\overset{?}\equiv15\left(\frac{7}{p}\right)p^2\pmod{p^5}$$

Zudilin [5] encontró un patrón general para obtener la congruencia asociada. Si la serie es de la forma
$$\sum_{n=0}^\infty A_n(a+bn)z^n=\frac{r\sqrt{d}}{\pi} \quad \text{o}\quad
\sum_{n=0}^\infty A_n(a+bn+cn^2)z^n=\frac{r\sqrt{d}}{\pi^2},$$
le asocia las congruencias
$$\sum_{n=0}^{p-1} A_n(a+bn)z^n\overset{?}\equiv a\left(\frac{-d}{p}\right)p\pmod{p^3},$$ o
$$\sum_{n=0}^{p-1} A_n(a+bn+cn^2)z^n\overset{?}\equiv a\left(\frac{d}{p}\right)p^2\pmod{p^5}.$$

Inspirándose en las fórmulas de Guillera el ruso Boris Gourèvitch obtuvo
$$\sum_{n=0}^\infty\frac{168n^3+76n^2+14n+1}{2^{20n}}{2n\choose n}^7\overset{?}=\frac{32}{\pi^3}.$$
Zudilin sugiere que
$$\sum_{n=0}^{(p-1)/2}\frac{168n^3+76n^2+14n+1}{2^{20n}}{2n\choose n}^7\overset{?}\equiv
\left(\frac{-1}{p}\right)p^3\pmod{p^7}.$$
Sun observa que esta congruencia en particular se cumple módulo \(p^8\) pero este no es el esquema general. Zudilin extiende su esquema para otras series con suma en \(\pi^{-n}\).

Final.

Cada serie viene acompañada de su congruencia. La Alicia de Lewis Carroll estaba acostumbrada a ver gatos acompañados de su sonrisa, pero se sorprende de ver una sonrisa sin gato. No hemos hablado de las congruencias que ha encontrado Guillera cuyas series son divergentes. Pero es bastante por hoy

Siempre me ha atraído este tipo de matemáticas. Pero quiero insistir una vez más en la relación sorprendente entre las supercongruencias y las series que hemos visto aquí. Van Hamme trató de encontrar una explicación, pero el hecho de que las series no converjan \(p\)-ádicamente hace todo muy difícil, más que una explicación resulta algo esotérico. No, yo creo que las verdaderas conjeturas no están expresadas. Algo que explique que cierto tipo de series tiene que estar asociada a ciertas supercongruencias. Junto con una explicación del lado derecho de las congruencias. Yo espero que algún futuro Weil vea entre todo este bosque un orden. Y algún Grothendieck nos cambie la mente y nos explique las conexiones y sus motivos.

Para saber mas.

El trabajo original de Ramanujan es muy interesante

[1] Ramanujan, S., Modular equations and approximations to \(\pi\), Quarterly Journal of Mathematics, 45 (1914) 350–372.

Creo que van Hamme tiene gran parte del mérito de haber entrevisto este misterio

[2] L. Van Hamme, Some conjectures concerning partial sums of generalized hypergeometric series, p-adic functional analysis (Nijmegen, 1996), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 192, Dekker, New York (1997), 223-236.

Las conjeturas de van Hamme han sido probadas. Hay dos trabajos importantes

[3] E. Mortenson, A p-adic supercongruence conjecture of Van Hamme, Proc. Amer. Math.
Soc. 136:12 (2008), 4321–4328.

[4] W. Zudilin, Ramanujan-type supercongruences, J. Number Theory 129 (2009) 1848–1857.

El patrón general puede verse en

[5] J. Guillera y W. Zudilin, «Divergent» Ramanujan-type supercongruences, Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012) 765-777.

Hay indicios de explicaciones:

Las dos preguntas Misteriosa conexión y Supercongruencias en MathOverflow son muy relevantes.

[6] J. Rosen, The completed finite period map and Galois theory of supercongruences,
Int. Math. Res. Notices (to appear).

[7] Victor J. W. Guo and W. Zudilin, A $q$-microscope for supercongruences, arXiv:1803.01830.

Vuelvo a recomendar las páginas de Wadim Zudilin y Guillera.

Una explicación estupenda de algunos de sus resultado la tenemos en el canal youtube de Guillera. En particular recomiendo su video sobre El método WZ y fórmulas para el número Pi, donde magistralmente nos explica como obtuvo alguna de sus series.