A principios del pasado julio, “El confidencial” denunciaba que este año el gobierno de España obligó a su equipo a pagar de su bolsillo el viaje a las Olimpiadas Matemáticas. Estas Olimpiadas son una competición internacional donde jóvenes estudiantes de Bachillerato se enfrentan a problemas y retos matemáticos bastante complicados. Es una competición muy prestigiosa, y no es raro que sus ganadores acaben siendo rutilantes estrellas del universo matemático; y baste citar aquí como ejemplos los casos de Maryam Mirzakhani (la única mujer que ha ganado la medalla Fields) o Terence Tao (posiblemente el mejor matemático de lo que llevamos de siglo XXI).
El dejar sin financiación a los seis jóvenes matemáticos españoles para participar en las Olimpiadas supone un coste ridículo, pero esa decisión política tiene efectos devastadores en la percepción social de las matemáticas. Supone, además, seguir con la racha de recortes de la última década que tanto daño está haciendo al incipiente despegar científico que España estaba protagonizando desde la implantación de la democracia. Hay quien sostiene que somos un país milenario y, sin embargo, a lo largo de todos esos siglos España no ha contribuido prácticamente nada a la matemática. Posiblemente esto tenga que ver con lo que la sociedad transmite a los niños como sus modelos: Messi, Ronaldo, \(\dots\ \), y con lo que la sociedad valora: Semana Santa, Fallas, Futbol, \(\dots\ \). Durante la mayor parte de nuestra historia, al que ha hecho algo intelectualmente interesante, novedoso, al que piensa o escribe, se le ha mirado con recelo. Aquí se busca ciudadanos dóciles, creyentes, buenos, en el peor sentido de la palabra bueno.
El problema de nuestro retraso científico es cultural, muy profundo y por tanto difícil de vencer, y a mí me recuerda lo que pasa con el machismo de la sociedad: está tan metido en los huesos que no lo vemos. Con ese esquema mental, el gobierno decide suprimir las ayudas a nuestros jóvenes para que participen en las Olimpiadas Matemáticas porque carece de sensibilidad científica y sabe que no tendrá coste político alguno. En este, como en otros ámbitos de la ciencia, la comparación con otros países del entorno es dramática. En el caso de las Olimpiadas Matemáticas, hay un país que destaca especialmente: Hungría. Y no por casualidad es también un país con una genuina tradición matemática, sustanciada en el último siglo en un buen puñado de matemáticos de primer nivel: John Von Neumann, Pál Ërdos, Paul Halmos, George Polya, Gabor Szego, \(\dots\ \) (se puede consultar mi entrada The Happy end problem, donde ya traté el asunto de la matemática húngara).
La entrada de hoy tiene mucho que ver con Hungría, y van a desfilar por ella muchos y buenos matemáticos húngaros: Simon Sidon, Pál Erdös, Pál Turan, Miklós Ajtai, János Komlós, Endre Szemeredi, Imre Ruzsa (este último, por cierto, participó en varias Olimpiadas Matemáticas ganando una medalla de plata en 1969, y dos medallas de oro en las sucesivas competiciones de 1970 y 1971, donde obtuvo una puntuación perfecta). Sin embargo, el héroe de la entrada será, por méritos propios, un matemático español: Javier Cilleruelo. Lo que viene a demostrar que si aquí se cuidara y prestigiara la matemática, igual que se hace en Hungría, las cosas podrían ser muy diferentes.
El problema que trataré en esta entrada lo propuso Simon Sidon, un matemático húngaro, quién en 1932 planteó la cuestión de construir un conjunto de números naturales \(a_1<a_2<\cdots\) tales que las sumas \(a_i+a_j\) (\(i\le j\)) sean todas distintas y que a la vez sea lo más denso posible.
Cuando en 2013 Cilleruelo vino a un congreso en Sevilla habló sobre su construcción de un conjunto de Sidon. Su presentación fue magistral. Entro justo lo suficiente en la construcción para que la entendiéramos sin perdernos en los detalles. Quedé fuertemente impresionado, apenas lo conocía pero me acerqué a decirle cuanto había disfrutado de su charla. Los conjuntos de Sidon es una materia puramente húngara y por esto digo que Javier marcó un gol contra Hungría. Era una confirmación de que España estaba finalmente contribuyendo algo a las matemáticas (y por lo mismo, la decisión sobre la Olimpiada Matemática es tan incomprensible y preocupante).
No es una construcción especialmente reciente, el trabajo de Javier se publicó en el año 2014 en la revista Advances in Mathematics, pero su fallecimiento (en 2016) me recordó su construcción y, en parte, como homenaje a un matemático español creo que está justificada esta entrada.
La matemática es la actividad humana en donde más brilla la imaginación. La imaginación que contienen las construcciones matemáticas supera con mucha ventaja la que se pueda ver en un cuadro, o una novela. Me refiero a la imaginación, en el sentido que un cuadro del Bosco muestra más imaginación que una composición de Mondrian.
La obra de Javier es extensa, y podríamos hablar de muchos otros de sus resultados, pero creo que este muestra muy bien el carácter de su obra.
Sidon y sus conjuntos.
La cuestión la planteó Simon Sidon y es fácil de entender. Buscamos conjuntos \(A\), de números naturales, tales que todas las sumas \(a+b\) entre sus elementos sean diferentes. Por ejemplo con los números en \(A=\{0, 2, 7, 8, 11\}\) podemos formar las sumas \(0+0=0\), \(0+2=2\), … \(8+11=19\), y \(11+11=22\), en total son \(5+4+3+2+1=15\) sumas, todas distintas, que ordenadas de mayor a menor son
$$0,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 18,\ 19,\ 22.$$
Denominamos conjuntos de Sidon los que tienen esta propiedad de sumas distintas.
Podemos construir conjuntos de Sidon infinitos. Por ejemplo el conjunto de las potencias de \(2\), \(P_2=\{1,2,4,8,16, \dots, 2^n,\dots\}\) es de Sidon como se puede comprobar fácilmente. Pero este conjunto tiene muy pocos elementos. Si designamos por \(A(x)\) el cardinal del conjunto de elementos de \(A\) que son \(\le x\), tendremos que \(P_2(x)\le 1+\log_2x\). La pregunta de Sidon a Erdös fue ¿cómo de denso podemos construir un conjunto de Sidon? O, de manera mas concreta: ¿cuál es la mayor potencia \(\alpha>0\) tal que podemos construir un conjunto de Sidon \(A\) tal que \(A(x)>C x^\alpha\) para cierta constante \(C\) y todo \(x>0\) (\(A(x)\gg x^\alpha\) para abreviar). El supremo de los \(\alpha\), lo llamaremos el exponente de Sidon.
Simon Sidon (1892–1941) estudió matemáticas, pero trabajó de actuario, sin embargo se dedicó a las matemáticas como hobby. Trabajó en las series trigonométricas, lo que le llevó a pensar en los conjuntos de Sidon. Pál Erdös creía que Sidon tenía algunos problemas mentales. En cierta ocasión Pál Erdös y Pál Turán fueron a visitarlo a su casa. Llamaron a la puerta. Él entreabrió la puertas solo un poco y les dijo: Por favor venir en otro momento a buscar a otra persona. ¿Y qué? no sabía Erdös que a veces las visitas importunan. Ya sabéis que Erdös no tenía profesión, iba dando conferencias y se asentaba en cada ciudad a la que llegaba en casa de algún matemático a decir: tengo la mente abierta. Claro que publicaba en colaboración con ellos.
El exponente de Sidon es \(\le \frac12\).
Hay una observación fácil, sea \(A\) un conjunto de Sidon arbitrario, para cada \(x>0\) sea \(B=\{a\in A\colon a\le x\}\). \(B\) es un conjunto de Sidon con \(n=A(x)\) elementos. El conjunto de las sumas \(\{b+b’\colon b, b’\in B\}\) es un conjunto de \(1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\) elementos todos distintos y que están en el intervalo \(0\le b+b’\le 2x\). Luego
$$\frac{n^2}{2}<\frac{n(n+1)}{2}\le 2x,\qquad n\le 2\sqrt{x}.$$
Esto es \(A(x)< 2\sqrt{x}\). No es posible encontrar conjuntos de Sidon con \(A(x)>2x^{1/2}\).
El exponente de Sidon es \(\ge\frac13\).
Los matemáticos indios Chowla y Mian probaron en la otra dirección que existen conjuntos de Sidon tales que \(A(x)>x^{1/3}\). Para esto usaron el método del avaro. Se parte del conjunto \(A=\{0\}\) y se van añadiendo términos sucesivamente, de manera que en cada momento se añade el menor número que haga al conjunto resultante de Sidon; así se obtiene la sucesión
$$0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, 122, 147, 181, 203, 251, 289, 360, 400, 474, $$
Por ejemplo, una vez construido \(\{0,1,3\}\) el siguiente número no puede ser un cuatro porque \(\{0,1,3,4\}\) no es Sidon (\(0+4=3+1\)), tampoco \(\{0,1,3,5\}\) es conjunto de Sidon (\(5+1=3+3\)), ni \(\{0,1,3,6\}\) (ya que \(0+6=3+3\)). Pero en cambio el conjunto \(\{0,1,3,7\}\) si que es Sidon como puede comprobarse fácilmente. De manera que \(7\) es el siguiente término de la sucesión. Así se generan igualmente los siguientes términos \(12\), \(20\), \(30\), \(44\), …
Si analizamos el proceso anterior la condición sobre \(a_n\) es que no sea igual a ninguno de los números \(a_i+a_j-a_k\) con \(0\le i, j, k\le n-1\). Se trata de evitar \(n^3\) números. Es seguro que entre los números \(0\le a\le n^3\) (que en total son \(n^3+1\)) hay uno que es diferente de cualquiera de los \(a_i+a_j-a_k\). Por consiguiente \(a_n\le n^3\).
Fijado \(x>0\), buscamos \(n\) tal que \(n^3\le x<(n+1)^3\). Sabemos entonces que \(a_0=0\), \(a_1\), \(\dots\), \(a_n\le x\). Esto es decir que \(A(x)\ge n+1\ge x^{1/3}+1\). Luego el exponente de Sidon \(\alpha\) verifica \(\frac13\le \alpha\le \frac12\).
Conjetura de Erdös.
Erdös conjeturó que el exponente de Sidon es \(\frac12\). Eso equivale a que para cada \(\varepsilon>0\) existirá un conjunto de Sidon con \(A(x)\gg x^{1/2-\varepsilon}\). Junto con Rényi probaron que existe un conjunto \(A(x)\gg x^{1/2-\varepsilon}\) y tal que es casi Sidon en el sentido de que para cada \(m\) el conjunto de soluciones de \(a_j+a_k=m\) es finito.
La sucesión de Chowla y Mian obtenida con el algoritmo del avaro fue durante 50 años el conjunto infinito de Sidon mas denso conocido. El record se rompió en 1981 por Atjai, Komlós y Szemerédi quienes probaron que existen sucesiones de Sidon tales que \(A(x)\gg (x\log x)^{\frac13}\). La construcción era aleatoria y usaba resultados de la teoría de grafos.
La construcción de Ruzsa.
Ruzsa en 1998 consiguió romper la barrera del exponente \(1/3\) y construyó conjuntos de Sidon tales que \(A(x)\gg x^{\sqrt{2}-1-\varepsilon}\) (para cualquier \(\varepsilon>0\)). La construcción de Ruzsa usa ideas muy novedosas.
La mayor novedad es el uso de los números primos. El conjunto de los números primos \(\mathcal P\) tiene la propiedad de Sidon respecto del producto. Es decir si \(p_j\) son números primos tales que \(p_1p_2=p_3p_4\) entonces necesariamente ha de cumplirse que \(\{p_1,p_2\}=\{p_3,p_4\}\). Podemos acercarnos a la propiedad de Sidon si tomamos logaritmos: el conjunto \(\{\log p\colon p\in\mathcal P\}\), tiene la propiedad de Sidon, pero no está formado por enteros.
La construcción de Rusza comienza eligiendo un número real \(1\le r\le2\) para formar con ellos los números \(r\log p\). Éstos los desarrolla en binario y con las cifras de este número construye otro de tamaño \(p^{\sqrt{2}+1}\). No es una construcción simple. Se prueba finalmente que para casi cualesquiera \(r\) y quitando solo un pequeño número de términos se obtiene una sucesión de Sidon.
La construcción de Javier obtiene también un conjunto infinito de Sidon con esa densidad, pero con la enorme ventaja de que la construcción es efectiva, no aleatoria como la de Rusza. Esto puede ser una ventaja enorme si queremos usar los conjuntos de Sidon con un objetivo concreto.
La genética de los conjuntos de Sidon.
La propiedad de un conjunto de Sidon \(A\) es que cada suma \(a+b\), determina de manera única los elementos \(a\) y \(b\) que lo componen. Es como si \(a+b\) fuera un descendiente de \(a\) y \(b\). El conjunto es de Sidon si cada suma contiene la información genética que permite determinar los progenitores \(a\) y \(b\).
En la construcción de Cilleruelo cada termino irá asociado a un número primo. De manera que el conjunto de Sidon será
$$A=\{a_2, a_3, a_5, a_7, a_{11},\dots\}.$$
La información de cada término se identifica de este modo con un número primo. Conociendo \(a_p+a_q\) debemos ser capaces de determinar la pareja de primos \(\{p,q\}\) que la genera. Esta información irá contenida en los dígitos que componen \(a_p\) y \(a_q\). El problema principal es que estos dígitos se suman y debemos asegurarnos que esta información no se pierda en ese proceso.
Javier necesita garantizar dos cosas:
- Construir una sucesión relativamente densa.
- Que tenga la propiedad de Sidon.
y consigue separar los dos problemas. De forma que la solución de uno no interfiera con el otro.
Construcción de la sucesión densa.
La principal idea para conseguir la densidad de la sucesión es determinar los dígitos que tendrá cada elemento \(a_p\) de la sucesión. Pero no serán los dígitos en base 10, sino que será conveniente introducir una base generalizada, semejante a como medimos el tiempo usando una escala de segundos, minutos, horas, días, años, etc. Siendo cada unidad un múltiplo de la anterior.
Bases generalizadas.
Para conseguir una sucesión densa, usará la representación en una base. Estamos acostumbrados a representar cada número en base \(10\). Dado un número natural \(n\) se busca el único exponente \(k\) tal que \(10^{k-1}\le n<10^{k}\). Dividimos entonces \(n=\alpha_{k}10^{k-1}+n’\) con \(n'<10^{k-1}\). La primera cifra de \(n\) es entonces \(1\le \alpha_{k}<10\) y continuamos el proceso con \(n’\). De este modo se generan las cifras del número \(n\).
Cilleruelo usa una modificación de este proceso, sustituyendo las potencias de \(10\) con productos
$$N_1,\quad N_1N_2,\quad N_1N_2N_3,\quad N_1N_2N_3N_4,\quad \dots$$
Dado \(n\) buscaremos \(k\) tal que
$$N_1N_2\dots N_{k-1}\le n<N_1N_2\dots N_{k-1}N_k$$
y la división nos dará la primera cifra \(n=\alpha_kN_1N_2\cdots N_{k-1}+n’\). Siendo aquí \(1\le \alpha_k< N_k\), \(n'<N_1N_2\cdots N_{k-1}\). Continuando el proceso con \(n’\).
Ahora el número quedará representado por las cifras \(\alpha_k\alpha_{k-1}\dots\alpha_1\) siendo
$$0\le \alpha_j \le N_j,\qquad n=\alpha_kN_1N_2\cdots N_{k-1}+\cdots
+\alpha_jN_1N_2\cdots N_{j-1}+\cdots+\alpha_1.$$
Javier puede escoger los \(N_k\). Toma \(N_k=4q_k\) para ciertos números \(q_k\).
Restringirá sus números \(a_p=\alpha_k\alpha_{k-1}\cdots \alpha_1\), de manera que sus cifras no nulas satisfagan las desigualdades
$$q_j+1\le \alpha_j\le 2q_j-1.$$
De este modo al sumar \(a_p=\alpha_k\alpha_{k-1}\dots \alpha_1\) y
\(a_{p’}=\beta_\ell\beta_{\ell-1}\dots \beta_1\) tendremos
$$2q_j+2\le \alpha_j+\beta_j\le 4q_j-2,\qquad \text{si $j\le \min(k,\ell)$}.$$
Esto significa que para sumar dos de estos números solo tenemos que sumar las correspondientes cifras (no nos llevamos unidades de una magnitud a la siguiente).
También conociendo la suma \(a_p+a_{p’}\) podrá decir que ha sumado dos números, uno con \(k\) cifras y otro con \(\ell\) cifras. Por ejemplo \(\ell\) será el orden de la mayor cifra de la suma que sea \(\ge2q_j+2\). Es como si en base 10 nos restringiéramos a números con cifras \(3\), y \(4\),
$$43343+344=43687.$$
Al sumar solo hay que sumar los dígitos, además sabemos que se ha sumado un número de 3 cifras y otro de 5, porque las tres primeras cifras de la suma son \(\ge6\). Y la suma tiene 5 cifras.
Elección de las \(q_j\) y del tamaño de los \(a_p\).
El postulado de Bertrand afirma que dado \(x>1\) siempre existe un número primo \(x<p\le 2x\). Esto es hoy día un teorema, gracias al cual podemos escoger los números \(q_1\), \(q_2\), \(\dots\) que aparecen en nuestra base como los menores números primos contenidos en los intervalos
$$2^{2j-1}<q_j\le 2^{2j+1}, \qquad j\ge1.$$
Los primeros son
$$q_1=3,\ q_2=11,\ q_3=37,\ q_4=131,\ q_5=521,\ q_6=2053,\ q_7= 8209,\ q_8= 32771,\ q_9= 131101,\dots\ $$
Ahora nos queda decir quienes serán los \(a_p\) (la construcción no nos dará ningún elemento cuando \(p=q_j\), de manera que eliminamos de la sucesión los términos \(a_{q_j}\). Como los \(q_j\) crecen exponencialmente no tienen influencia en la densidad de la sucesión \(a_p\), pero no volveremos sobre este detalle sin importancia).
A partir de este momento la construcción de Cilleruelo depende de un parámetro \(\frac13\le c\le \frac12\) del que al final dependerá la densidad de la sucesión.
La idea es tomar los números \(a_p\) creciendo con \(p\). En particular el número de dígitos de \(a_p\) en la base \((4q_j)\) va a ir creciendo con el tamaño de \(p\) Así tendremos
$$a_p=x_k(p)\dots x_1(p)$$
donde \(x_j(p)\) es el \(j\)-ésimo dígito de \(a_p\) en la base \((4q_j)\).
Con mas precisión \(a_p\) tendrá \(k\) dígitos precisamente si
$$p\in \mathcal P_k:=\Bigl\{p \text{ primo}\colon \frac{2^{c(k-1)^2}}{k-1}
<p\le \frac{2^{ck^2}}{k}\Bigr\}.$$
Es fácil demostrar que con esta elección el conjunto \(A\) satisface la condición \(A(x)=x^{c+o(1)}\). Pero todavía la parte mas importante de la construcción está pendiente. Como garantizar que el conjunto \(A=\{a_p\colon p \text{ primo}\}\) satisface la condición de Sidon.
Elección de los dígitos. Propiedad de Sidon.
Elección de los dígitos.
Si \(p\in \mathcal P_k\) tendremos \(a_p=x_k(p)\dots x_1(p)\). Los dígitos \(x_j(p)\) deben llevar información sobre el primo \(p\) de manera que esa información se pueda recuperar (en cierto grado al menos) cuando solo conocemos la suma \(x_j(p)+x_j(p’)\). La información va a estar relacionada con el primo \(q_j\). La idea es que \(x_j(p)\) lleve la información de la clase de \(p\) módulo \(q_j\).
Pero no podemos tomar simplemente \(x_j(p)=p\mod q_j\). Ya que al sumar se perdería la información, \(x_j(p)+x_j(p’)\) es información sobre \(p+p’\) y, en general, hay muchos pares de primos con la misma suma. Eso no pasa con el producto. Si pudiéramos recuperar \(pp’\), esto si determina de manera única la pareja de factores.
Es decir al sumar las cifras debemos obtener información sobre el producto de los primos. Eso se consigue con el logaritmo. Aquí hay que usar el sustituto del logaritmo para congruencias.
Por esto Cilleruelo usa que dado \(q_j\) existe una raíz primitiva \(g_j\). Un elemento tal que las potencias \(g_j\), \(g_j^2\), $latex\dots$, \(g_j^{q_j-1}\) son todas las clases no nulas módulo \(q_j\). Esto quiere decir que como \(p\) no es divisible por \(q_j\), existe un \(2\le a\le q_j \) tal que \(p\equiv g_j^{a}\pmod{q_j}\) y tomaremos entonces \(x_j(p)=a+q_j-1\). De este modo como \(g_j^{q_j-1}\equiv1\pmod{q_j}\), tendremos
$$g_j^{x_j(p)}\equiv p\mod q_j, \qquad q_j+1\le x_j(p)\le 2q_j-1.$$
¿Qué hemos conseguido? Supongamos que sumamos \(a_{p_1}\) con \(k\) dígitos y \(a_{p_2}\) con \(\ell<k\) dígitos, tendremos
\begin{align*}
a_{p_1}+a_{p_2}&=x_k(p_1) x_{k-1}(p_1)\dots x_\ell(p_1)\dots x_1(p_1)+
x_\ell(p_2)\dots x_1(p_2)\\
&=x_k(p_1) x_{k-1}(p_1)\dots x_{\ell+1}(p_1)[x_\ell(p_1)+x_\ell(p_2)]\dots
[x_1(p_1)+x_1(p_2)]
\end{align*}
Conociendo la suma sabríamos:
- La magnitud de las cifras nos indica que hemos sumado un número \(a_{p_1}\) de \(k\) dígitos con otro \(a_{p_2}\) de \(\ell\) dígitos.
- Para \(1\le j\le \ell\) sabríamos que
$$g_j^{x_j(p_1)+x_j(p_2)}\equiv g_j^{x_j(p_1)}g_j^{x_j(p_2)}\equiv
p_1p_2\pmod{q_j}$$ - Para \(\ell<j\le k\)
$$g_j^{x_j(p_1)}\equiv p_1\pmod{q_j}$$
Esto significa que conocemos
$$p_1p_2\pmod{q_1\cdots q_\ell},\qquad p_1\pmod{q_{\ell+1}\cdots q_k}.$$
Si fuera \(k=\ell\) esto sería suficiente para conocer \(p_1p_2\) y por tanto factorizando, conocemos \(p_1\) y \(p_2\). En el caso general el razonamiento es más complicado y requiere usar las acotaciones que conocemos de \(q_j\).
Suponiendo que hubiera dos sumas iguales \(a_{p_1}+a_{p_2}=a_{p’_1}+a_{p’_2}\), Javier prueba que se tendría
$$(1-c)k^2<\ell^2<\frac{c}{1-c}k^2.$$
Conjuntos de Sidon.
De lo anterior se sigue que si \(A\) no es conjunto de Sidon se tiene que cumplir la desigualdad
$$1-c<\frac{c}{1-c} \text{ lo que equivale a } c<\frac{3-\sqrt{5}}{2}=0.3819\dots.$$
Por tanto la construcción, tomando \(c=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\), nos da un conjunto de Sidon. Este es el primer ejemplo de una sucesión explícita de Sidon con función contadora \(A(x)\gg x^c\) para algún \(c>\frac13\).
Final del argumento.
Al llegar a este punto, parece que no hay nada que hacer. Si queremos una sucesión mas densa debemos tomar \(c>\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) y hemos visto que en ese caso la sucesión construida contiene sumas coincidentes \(a_{p_1}+a_{p_2}=a_{p’_1}+a_{p’_2}\). Javier analiza estos casos y llega a determinar que si un primo \(p_1\) aparece en una de estas sumas, entonces pertenece a un conjunto especial de primos. Demuestra entonces que estos primos son raros, esto es, no alteran la densidad si y sólo si \(\frac{2c}{1-c}-1\le c\). Es decir para cualquier \(c=\sqrt{2}-1-\varepsilon\) con \(\varepsilon>0\).
Es una gran sorpresa que el método, muy distinto, conduzca a la misma densidad que el método probabilístico de Rusza. ¿quizás la conjetura de Erdös no es cierta y el exponente de Sidon es \(\sqrt{2}-1\)?
Para saber mas.
El trabajo completo de Javier se puede descargar libre en la red, y no usa matemáticas avanzadas.
J. Cilleruelo, Infinite Sidon sequences, Advances in Math., 255 (2014) 474-486.
Una bibliografía comentada muy completa sobre los conjuntos de Sidon la tenemos en
K. O’Bryant, A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences, Elect. J. Combinatorics #DS11: July 26, 2004.
La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española ldedicó el número 3 del volumen 19 (2016) a Javier. Contiene artículos de sus colaboradores pero no está en abierto. (En 2022 toda la Gaceta de de acceso libre, incluyendo el número dedicado a Javier)
Hay muchos obituarios, que explican parte de su persona:
- Adolfo Quirós en el País
- Antonio Córdoba en El Mundo
- Manuel de León en Matemáticas y sus Fronteras
- Blog Gaussianos
Muy buen artículo, mi amigo Javier no sólo fue un gran matemático, fue además una gran persona y un hombre íntegro y honesto , q.e.p.d. Manolo
Idem anterior