Fourier, Cantor, las series trigonométricas y la teoría de conjuntos

Este año se celebran los 250 años del nacimiento de Joseph Fourier (1768-1830) y los 100 años de la muerte de Georg Cantor (1845-1918), a quien hemos dedicado varias entradas en nuestro blog.

Ambos personajes, centrales en el desarrollo de las matemáticas de los dos últimos siglos, están ligados por algo más que un número redondo entre aniversarios: Cantor inventó (¿descubrió?, uno de los dilemas de la filosofía de las matemáticas) la teoría de conjuntos para resolver el problema de la unicidad de la representación de una función  mediante series trigonométricas en el que habían trabajado, entre otros grandes, Dirichlet, Lipschitz, Riemann, Heine y Weierstrass.

Veamos con algo de detalle qué se esconde detrás de este problema, cómo fue atacado por Cantor y hasta dónde se ha llegado en su solución; para ello hemos seguido los artículos de Bombal, Cooke y Srivastava y el trabajo fin de grado de Ruiz Cárdenas citados en las referencias que se recogen al final y con las que se puede profundizar bastante más en el tema.

En 1811 el Instituto de Francia convocó un concurso para “la formulación de una teoría matemática de las leyes de la transmisión del calor y comparar esta teoría con los experimentos.” Fourier ganó el concurso con un trabajo que, sin embargo, no fue publicado inmediatamente porque, según reza en el informe del jurado, “el análisis de su solución deja algo que desear tanto en lo concerniente a la generalidad como al rigor.” Fourier continuó trabajando en el tema culminándolo con la publicación en 1822 de su “Teoría analítica del calor.” Un elemento fundamental de la teoría formulada por Fourier, ya planteado sin mucho éxito por D. Bernoulli como solución al problema de la cuerda vibrante, fue el postular que cualquier función \(f(x)\), continua o no, periódica (tomemos como período \(2\pi\) por comodidad) puede escribirse como una serie de senos y cosenos del mismo período, llamada en su honor serie de Fourier de \(f(x)\):

 

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \bigl( a_n \cos(nx)+b_n\text{sen}(nx)\bigr).$$

 

Cuando \(f(x)\) representa la distribución de temperaturas en una barra de longitud de tamaño  \(2\pi\), el convencimiento de la existencia del desarrollo viene avalado por la mera existencia de una solución física del problema. Fourier también establece que los coeficientes   a_n$ y \(b_n\) se pueden hallar, admitiendo la integración término a término de la serie anterior, calculando

$$ \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx)\, dx, \qquad  \int_0^{2\pi} f(x) \text{sen}(nx)\, dx,$$

lo que, a su vez, genera el problema de qué es una integral en la que hay una función arbitraria \(f(x)\) de la que no puede garantizarse que tenga una primitiva.

En 1829 Dirichlet da la primera demostración completa de un teorema de convergencia para las series de Fourier probando que si \(f(x)\) es (i) continua en \([0, 2\pi]\) salvo un número finito de discontinuidades de salto y (ii) posee un número finito de máximos y mínimos en dicho intervalo, entonces la serie converge a \(f(x)\) en los puntos de continuidad y al punto medio del salto en las discontinuidades de salto. El propio Dirichlet comenta que el problema con la hipótesis (i) es el de dar sentido a la integral cuando hay infinitas discontinuidades, proponiendo la función indicador de los racionales como ejemplo de que alguna restricción es necesaria.

Dirichlet propuso a Lipschitz la extensión de la validez del teorema como tema para su tesis doctoral. En relación con la hipótesis (i), en su tesis de 1853 Lipschitz extendió la validez a funciones acotadas que tuvieran un número infinito de discontinuidades siempre que este conjunto tuviera un número finito de puntos de acumulación. Poco después y como parte de su tesis de habilitación, para avanzar en este problema Riemann formula una teoría de la integración mucho más general que la de Cauchy y que le permite extender la validez del teorema de Dirichlet a algunas funciones que tienen un número infinito de discontinuidades que forman un conjunto denso en el intervalo.

Riemann estudió también series trigonométricas que no son series de Fourier, y fue el primero en hacer esta distinción, en el sentido de que los coeficientes no provienen de las integrales de las funciones senos y cosenos por una función dada \(f(x)\). Esto llevó a Heine a plantear en 1870 la cuestión de que había venido siendo asumido de manera tácita que si una función acotada puede representarse como una serie trigonométrica, entonces ésta debe ser la serie de Fourier. El problema se reduce a ver si de \(\sum_{n=0}^\infty \bigl( a_n \cos(nx)+b_n\text{sen}(nx)\bigr)=0\) se obtiene, necesariamente, que \(a_n=b_n=0\) para todo \(n\). Heine probó que esto es así cuando hay un conjunto finito \(E\) de manera que la serie converge uniformemente en cualquier subintervalo cerrado sin puntos de \(E\).

Cantor aparece en este punto de la historia. En una serie de artículos publicados en 1870 y 1871 probó que el resultado se mantiene si se elimina la hipótesis de convergencia uniforme y simplemente se exige que la serie sea convergente salvo un conjunto excepcional  finito \(E\). Dado que se sabe que el resultado no es cierto para un conjunto excepcional infinito cualquiera \(E\), Cantor se plantea estudiar qué tipos de conjuntos infinitos \(E\) permiten garantizar la unicidad de la serie si ésta converge para puntos que no están en \(E\). Para ello, Cantor empieza dando una construcción rigurosa del cuerpo de los números reales, similar a las cortaduras de Dedekind, mediante sucesiones de Cauchy de números racionales. Con esta base define la noción de conjunto derivado \(A’\) de un conjunto \(A\) como el formado por todos los puntos de acumulación de \(A\),  y demuestra que el problema de la unicidad de la serie de Fourier tiene respuesta positiva si el conjunto excepcional \(E\) cumple que construyendo los conjuntos derivados sucesivos \(E’, E’’=(E’), E’’’=(E’’)’,\ldots\) alguno se reduce a ser el conjunto vacío. A partir de aquí, Cantor se quedó prendado del problema de clasificar los conjuntos infinitos y la cuestión del continuo.

La unicidad de la serie trigonométrica fue establecida por Du Bois Reymond en 1876 para las funciones acotadas e integrables en el sentido de Riemann, por Lebesgue en 1906 para las funciones acotadas e integrables en el sentido que él mismo definió y por de la Valleé Poussin en 1912 para cuando el conjunto excepcional es numerable y en 1913 suprimiendo la hipótesis de acotación. Entre los resultados negativos tenemos el de Menchoff de 1916 con su construcción de una serie trigonométrica no nula que converge a cero en casi todo punto.

Referencias:

1. Bombal, Las series de Fourier y el desarrollo del análisis en el siglo XIX, Universidad Complutense de Madrid.
2. L. Cooke, The Cantor-Lebesgue theorem, American Mathematical Monthly 86 (1979), 558-565
3. W. Dauben, Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1990.
4. S. Kechris and A. Louveau, Descriptive Set Theory and the Structure of Sets of Uniqueness, London Mathematical Society Lecture Note Series 128, Cambridge University Press, 1987.
5. Ruiz Cárdenas, Conjuntos de unicidad para series trigonométricas, Trabajo Fin de Grado, Universidad de Granada, 2017.
6. S.M. Srivastava, How did Cantor discover set theory and topology?, Resonance 19 (2014), 977-999. https://doi.org/10.1007/s12045-014-0117-8