Fractales: bellos y sin embargo útiles

¿Qué es un fractal?

Un fractal es un objeto geométrico caracterizado por presentar una estructura que se repite a diferentes escalas. En cierto modo, se trata de un patrón sin fin. Así, la Figura 1 muestra un fractal del plano. El término fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975. Proviene del latín fractus, cuyo significado es quebrado o fracturado.

Desgraciadamente, no existe al día de hoy una definición rigurosa de fractal totalmente satisfactoria. Sin embargo, sí pueden enumerarse algunas propiedades que cabe esperar en un fractal:

• Que sea autosimilar o, al menos, quasi-autosimilar, en el sentido de Sullivan. Por ejemplo, en términos vagos se puede decir que un fractal del plano es una curva que se reproduce a sí misma indefinidamente.

• Que su dimensión topológica sea estrictamente inferior a su dimensión geométrica (o dimensión de Hausdorff). Así, en el plano podríamos hablar de «curvas» de longitud infinita, a pesar de estar contenidas en un recinto acotado.

La estructura fractal ha sido reconocida desde hace mucho tiempo, aunque sólo recientemente ha sido posible sacarle partido.

Las primeras ideas parecen remontarse a Gottfried Leibniz (1646-1716), que consideró la posibilidad de generar objetos recursivamente autosimilares. Karl Weierstrass (1815-1897) y Niels Helge von Koch (1870-1924) consiguieron más tarde definir funciones cuyos grafos son fractales (véase la Figura 2).

En la Naturaleza aparecen con frecuencia objetos con apariencia fractal. Pensemos en árboles, ríos, perfiles de costa, nubes, etc.; véanse las imágenes mostradas en las Figuras 3 y 4.

Por otro lado, un fractal puede ser generado repitiendo un proceso simple una y otra vez en un ciclo realimentado. Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot  de la Figura 1 está dado por los números complejos \(c\) tales que la sucesión \(\{ z_n \}\) definida por \(z_0 = 0\) y
$$z_{n+1} = z_n^2 + c \ \hbox{ para } n \geq 0, \quad \quad (1)$$

está acotada.

Fatou, Julia y Mandelbrot

Las sucesiones generadas por iteración de funciones complejas fueron estudiadas con cierta profundidad por Fatou y Julia a principios del siglo XIX.

Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929) fue un matemático y astrónomo francés, formado en la École Normale Supérieure de París. Es conocido, sobre todo, por el resultado de teoría de la medida que lleva su nombre. Es además antepasado de mi dentista, una joven profesional a la que tengo que estar particularmente agradecido por el eficiente tratamiento dental de mi hijo Álvaro.

Gaston Maurice Julia (1893-1978) fue un matemático francés, de origen catalán, un genuino pionero en el mundo de los fractales. Fue el primero en explicar cómo se puede conseguir a partir de una función compleja, por evaluación iterada, un conjunto cuya frontera es imposible trazar con un lápiz (por ser de longitud infinita). Recibió por ello el Gran Premio de Matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa.

Sin embargo, no consiguió popularizar sus logros en vida. Los fractales se hicieron conocidos y ganaron interés sólo años más tarde, cuando la informática ayudó a su representación. Así, cabe mencionar unas primeras imágenes de 1978, de Robert Brooks y Peter Matelski, poco precisas. Y, sobre todo, hay que tener en cuenta las aportaciones de Mandelbrot.

Gaston Julia luchó en la primera guerra mundial, donde perdió la nariz con poco más de veinte años. Se vio obligado a renunciar a la cirugía plástica tras varios intentos fallidos, teniendo que llevar una pequeña máscara de cuero el resto de su vida.

Benoît Mandelbrot (1924-2010) fue un matemático polaco nacionalizado francés y después estadounidense. Sin él, los fractales no habrían llegado a ser tan populares en tan poco tiempo. Incorporando el uso del ordenador, consiguió descripciones precisas del conjunto que lleva su nombre y de los llamados conjuntos de Julia que, entre otras cosas, enamoraron a multitud de creadores artísticos.

Mandelbrot sostenía que los fractales eran más naturales (y por tanto más intuitivos) que los objetos basados en la Geometría Euclídea, que habían sido generados (y regularizados) artificialmente. Como muestra de su punto de vista, he aquí una frase: Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

En la formación de Mandelbrot intervinieron varios grandes matemáticos que le influyeron intensamente; entre otros, su tío Szolem Mandelbrojt y Paul Lévy en París y John Von Neumann en Princeton. Tras ser profesor en las universidades de Harvard, Yale, París y Ginebra, se incorporó en 1958 al Centro IBM de Nueva York. Allí le fue encargada una tarea concreta: identificar (y eliminar) los «ruidos» que perturbaban la transmisión de datos por vía telefónica. Tuvo entonces la genial idea de adoptar un punto de vista geométrico, caracterizando el ruido en función de los perfiles generados (una primitiva forma de llevar a cabo visualización de datos). Rápidamente comprendió que estaba en presencia de un fenómeno autosimilar: independientemente de la escala, tanto si los datos representados correspondían a un período de un día, una hora o un minuto, el patrón de la perturbación producida era sorprendentemente el mismo.

De este modo nació la Geometría Fractal.

Algunas aplicaciones de los fractales en los tiempos que corren

La rama de las Matemáticas dedicada a la descripción y análisis de conjuntos fractales se denomina Geometría Fractal. Las técnicas de este área se aplican en la actualidad en muchos ámbitos:

Fractales en Astrofísica: Es comúnmente aceptada la idea de que la naturaleza fractal del gas interestelar es la clave de la formación de las estrellas en el universo. Las nubes de partículas (al igual que las nubes del cielo) adoptan perfiles autosimilares ligados a patrones irregulares pero recurrentes, cuya descripción sería imposible sin la ayuda de la Geometría Fractal.

Fractales en Biología: Los modelos y procesos biológicos también están caracterizados por la coexistencia de escalas diferentes, con un patrón general que se repite una y otra vez. Por ejemplo, un cromosoma humano posee una arquitectura de tipo árbol, que permite concebirlo como un agregado de «mini-cromosomas» y así sucesivamente. Las cadenas de ADN también exhiben aspecto y comportamiento autosimilares. Se cree que, en un futuro no muy lejano, las técnicas de la Geometría Fractal ayudarán a modelar correctamente los patrones y procesos observados en la Naturaleza.

Fractales en Ciencias de la Computación: En este ámbito, la presencia y el uso de fractales están muy extendidos. Muchos esquemas de compresión de imágenes usan algoritmos fractales para conseguir reducciones que pueden ser superiores a un 75 % del tamaño original. En particular, las técnicas han permitido estos últimos años avances artísticos, ilusiones ópticas, efectos especiales, etc. verdaderamente sorprendentes.

Se pueden enumerar muchas más aplicaciones. Los fractales son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos relacionados con las comunicaciones (modelado del tráfico en redes), la Robótica, la composición musical, la Física (transiciones de fase en magnetismo), la Química (agregación por difusión limitada), la Geología (análisis de patrones sísmicos, modelado de formaciones geológicas, fenómenos de erosión), la Economía (análisis bursátil y de mercado) e incluso las Matemáticas (convergencia de métodos numéricos).

Como curiosidad final, un poco de ironía fractal: obsérvese cómo los comportamientos de nuestros políticos se repiten sin cesar a distintos niveles. Las declaraciones oficiales de un partido suelen ser proclamadas una y otra vez machaconamente, sin cambios significativos, primero por los más altos dirigentes, después por los líderes regionales, a continuación por nuestros representantes locales y, muchas veces, por los clásicos advenedizos.

Algunos detalles técnicos para los lectores más exigentes

¿Qué es la cuasi-autosimilitud? Por definición, en un espacio métrico \((X,d)\), un conjunto \(F \subset X\) es quasi-autosimilar (o quasi-autosemejante) si existen \(K > 0\) y \(r_0 > 0\) tales que, para cada \(x \in F\) y cada \(r \in (0,r_0)\), el conjunto \(F \cap B(x;r)\) es \(K\)-quasi-isométrico a \(F\), es decir, existe \(f : F \cap B(x;r) \mapsto F\) con la propiedad de que
$$
{1 \over K} d(x_1,x_2) \leq d(f(x_1),f(x_2)) \leq K \, d(x_1,x_2) \quad \forall x_1, x_2 \in F \cap B(x;r).
$$

¿Qué es la dimensión topológica de un conjunto? En un espacio topológico, la dimensión topológica de un conjunto \(G\) es el menor \(n\) tal que todo recubrimiento abierto de \(G\) posee un refinamiento con la propiedad de que cada punto de \(G\) pertenece a lo más a \(n+1\) conjuntos del mismo (si un tal \(n\) no existe, se dice que la dimensión de \(G\) es infinito).

De este modo, la dimensión topológica de un punto (resp. una curva, una superficie regular) es \(0\) (resp. \(1\), \(2\)).

¿Qué es la dimensión de Haussdorf de un conjunto? En un espacio métrico \((X,d)\), la dimensión de Hausdorff de un conjunto \(G \subset X\) es
$$
\dim_H(G) := sup \{ s : \mathcal{H}^s(G) > 0 \},
$$

donde \(\mathcal{H}^s(G) := \lim_{\delta \to 0^+} \mathcal{H}^s_\delta(G)\) (la medida de Hausdorff \(s\)-dimensional) y
$$
\mathcal{H}^s_\delta(G) := \inf \{ \sum_i \delta(E_i)^s : G \subset \bigcup_i E_i, \ \ \delta(E_i) < \delta \}.
$$

¿Qué dice el Lema de Fatou? Si \(\{ f_n \}\) es una sucesión de funciones medibles no negativas tal que
$$
\liminf_{n \to \infty} \int f_n \,d\mu < \infty
$$

y ponemos \(f(x) := \liminf_{n \to \infty} f_n(x)\), entonces \(f\) es integrable y
$$
\liminf_{n \to \infty} \int f_n \,d\mu \geq \int f \,d\mu.
$$

¿Como se usa la Geometría Fractal para comprender la estructura de un objeto del mundo real o, más generalmente, de un conjunto de un espacio métrico? Sea \(G\) este conjunto. Desde el punto de vista de la Geometría Fractal, la complejidad de \(G\) está determinada por su dimensión fractal (también llamada dimensión de Minkowski-Bouligand). Esta cantidad (finita o no) no posee una definición única, pero su interpretación, sus propiedades y  los resultados a los que conduce son en todos los casos muy similares. Una definición adecuada es la siguiente:
$$\dim_F(G) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{\log N_\epsilon(G)}{\log (1 / \epsilon) },$$

donde \(N_\epsilon(G)\) es el mínimo número de bolas de radio \(\epsilon\) que se necesitan para recubrir \(G\). La dimensión fractal es una medida de lo «complicado» que puede ser  un conjunto autosimilar. Es conocido que \(\dim_H(G)\) es siempre inferior o igual a \(\dim_F(G)\). Por otra parte (y esto es tal vez lo más relevante), en muchos casos de interés, cuando  se está analizando la complejidad fractal de un conjunto de un espacio normado y \(\dim_H(G) < \infty\), es posible describir con precisión los elementos de \(G\) con los valores que toma un número finito de parámetros.

 

Para saber más

[1] Falconer, K. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Third edition. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2014.

[2] Fatou, P. (1926), Sur l’itération des fonctions transcendantes entières. Acta Math 47 (4): 337-370.

[3] Julia, G. (1918), Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles, J. Math. Pures et Appl., Série 8, Tome 1, 47-246.

[4] Mandelbrot, B. (1982), The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman & Co Ltd, New York.

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski–Bouligand_dimension

Las Figuras precedentes han sido tomadas de

https://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

https://www-03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/

https://kairosart.wordpress.com/category/fractales-famosos/