Solución: Abejas

Publicamos la solución al divertimento Abejas.

Divertimento:

En un tablero de ajedrez de tamaño 9 × 9 se colocan al azar 65 abejas, en casillas distintas. Cada segundo, las abejas se mueven de forma horizontal o vertical a una casilla adyacente. Además, ninguna abeja se mueve en horizontal o en vertical dos veces consecutivas. Demostrar que en algún momento coincidirán dos abejas en la misma casilla.

Solución:

Denotemos por \((a,b)\) a las coordenadas de las casillas, con \(1 \leq a,b \leq 9\). Dividimos los 81 cuadrados en tres clases:

• Casillas \(A\), en las que \(a\) y \(b\) son impares.
• Casillas \(B\), en las que \(a\) y \(b\) son pares.
• Las de clase \(C\) son el resto.

Hay 25 casillas de clase \(A\), 16 de clase \(B\) y 40 de clase \(C\).

Supongamos que no hay dos abejas que coincidan nunca. Después del segundo movimiento, las abejas que empezaron en las casillas \(A\) estarán en las casillas \(B\). Por tanto, a partir de este momento, siempre hay como máximo 16 abejas ocupando casillas \(A\), y 32 abejas ocupando casillas \(A\) o \(B\). En el siguiente movimiento, las abejas en casillas \(C\) ocupan casillas de tipo \(A\) o \(B\). Por tanto, a partir del tercer movimiento siempre hay 32 abejas como máximo ocupando casillas de tipo \(C\).

Se deduce que el número de abejas es inferior a 64.