Solución: Raíz

Publicamos la solución al divertimento Raíz. Gracias a Alberto Castaño, Jorge Catarecha, Pablo Puerto Muñoz y Cristóbal Sánchez Rubio, que han propuesto soluciones acertadas al problema.

Divertimento:

Se tiene que
$$
\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}.
$$
¿Existen otros números que sigan verificando la identidad anterior? Es decir: determinar todos los números enteros positivos \(a,b\) y \(c\) de modo que
$$
\sqrt{a+\frac{b}{c}}=a\sqrt{\frac{b}{c}},
$$
con \(b\) y \(c\) primos entre sí.

Solución:

Solución propuesta por Jorge Catarecha.

De la ecuación del enunciado podemos llegar a $$ac+b=a^2b,$$ de donde, despejando, tenemos las igualdades $$a(ab-c) = b, \qquad b(a^2-1)=ac.$$ De la primera vemos que \(a\) divide a \(b\). Análogamente, de la segunda observamos que \(b\) divide a \(a\). (ya que suponemos \(b\) y \(c\) primos entre sí). Por tanto $$a = b.$$ Podemos sustituir a continuación en cualquiera de las igualdades, obteniendo $$a^2 – 1=c.$$ Podemos ver así que todos los números que cumplen la igualdad del enunciado deben tener esa forma; y recíprocamente es fácil comprobar que todos los números de esa forma cumplen
la igualdad.

En resumen, todos los números \((a,b,c)\) que cumplen la propiedad del enunciado son los generados por $$(t, t, t^2 -1), \qquad t \geq 2.$$ Vemos finalmente que el ejemplo del enunciado es el caso \(t = 2\).