Solución: Candidatos

Publicamos la solución al divertimento Candidatos. En esta ocasión, Cristóbal Sánchez-Rubio, Pepe Morillo, Míriam Acedo, Carmen Montero, Patricia Morales, Alberto Castaño, Javier Linares, Mercedes Blanco, Raquel Suárez, Rubén Alba y Jorge Catarecha nos han hecho llegar soluciones acertadas.

Divertimento:

Entre los siete candidatos a unas elecciones primarias de un partido se han repartido un total de 2.879 votos. Se sabe que ninguno de los candidatos ha obtenido el mismo número de votos que otro y que si se divide el número de votos obtenido por cualquiera de los candidatos entre el número de votos obtenido por cualquier otro candidato que haya obtenido menor número de votos, el resultado es siempre un número entero. ¿Cuántos votos ha obtenido cada candidato?

Solución:

Solución propuesta por Javier Linares.

Llamemos \(x_i\) al número de votos recibidos por cada candidato para \(i = 1, \ldots, 7\) de modo que estén ordenados de menor a mayor, es decir, \(x_i < x_j\) si \(i < j\). Además nos dicen que \(x_i\) divide a \(x_j\) para \(1 \leq i < j \leq 7\).
Empezamos realizando la factorización en números primos de 2879 y nos damos cuenta de que es un número primo. Dado que \(x_1\) divide a \(x_2 + \cdots + x_7\), podemos escribir \(x_1 (1 + k) = 2879\) para algún \(k \geq 1\), de donde deducimos que \(x_1 = 1\). Se sigue que \(x_2 + \cdots +x_7 = 2879−1 = 2878\), cuya factorización como primos es \(2878 = 2 \cdot 1739\). De nuevo, como \(x_2\) divide a \(x_3 + \cdots+ x_7\), para algún \(k\) se tiene \(x_2 (1 + k) = 2 · 1739\), luego la única opción es que \(x_2 = 2\) y deducimos que los \(x_i\) serán pares para \(i = 2,\ldots , 7\). El número 2879 tiene la particularidad de que podemos realizar este razonamiento hasta obtener todos los \(x_i\):

• \(x_3 + \cdots + x_7 = 2878 − 2 = 2876 = 2^2 \cdot 719, \qquad x_3 = 4\).
• \(x_4 + \cdots + x_7 = 2876 − 4 = 2872 = 2^3 \cdot359, \qquad x_4 = 8\).
• \(x_5 + \cdots + x_7 = 2872 − 8 = 2864 = 2^4 \cdot 179, \qquad x_5 = 16\).
• \(x_6 + x_7 = 2864 − 16 = 2848 = 2^5 \cdot89, \qquad x_6 = 32\).
• \(x_7 = 2848 − 32 = 2816 = 2^{11} \cdot 11\).