Publicamos la solución al divertimento Parejas de Números. Gracias a Alberto Castaño, Rubén Alba y Javier Linares por las soluciones que han propuesto.
Divertimento:
Se escogen 51 números al azar de 1 a 100. Demostrar que existen dos de ellos de modo que uno es divisible por el otro.
Solución:
Solución propuesta por Javier Linares Torres.
Podemos probar en general que, si tomamos \(n+1\) números al azar entre \(1\) y \(2n\), entonces debe haber dos de ellos de modo que uno divida al otro. Para ello, llamemos \(A\) al conjunto formado por los números seleccionados y sea $$I = \{2k + 1 | k = 0, . . . , n − 1\},$$ es decir, el conjunto de los números impares entre \(1\) y \(2n\). Para cada \(a \in A\), podemos escribir \(a = (2k + 1)2^r\) para ciertos \(k, r \geq 0\) de manera única.
Consideremos ahora la aplicación $$f : A \to I,$$ $$(2k + 1)2^r \mapsto 2k + 1.$$ Si \(|A| < 51\), entonces hemos seleccionado dos números iguales y hemos acabado. Si \(|A| = 51\), se sigue del principio del palomar que \(f\) no es una aplicación inyectiva y por lo tanto existen \(a, b \in A\) tales que \(a = (2k + 1)2^{r_1}\) y \(b = (2k + 1)2^{r_ 2}\). Sin pérdida de generalidad podemos suponer \(r_1 < r_2\) y en ese caso \(a\) divide a \(b\).
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