Modularidad.
Las Matemáticas en el siglo XXI se han transformado de una manera dramática. Casi podríamos decir que estamos viendo surgir un nuevo ser inteligente. Es como si toda la humanidad hubiera conectado para formar un nuevo ser. Lástima que esta transformación solo llegue a las Matemáticas.
Nos referimos a Polymath. La historia comienza en enero de 2009. Tim Gowers ganador de la medalla Fields, tenía un problema y en lugar de tratar de resolverlo en solitario escribió una entrada en su blog proponiendo el problema y su blog a cualquiera que tuviera ideas o comentarios que hacer. Era un problema que interesaba a Gowers pero que veía complicado. El resultado fue que en menos de 40 días se había resuelto el problema e incluso uno más complicado. El éxito ha sido repetido en numerosas ocasiones desde entonces. Este nuevo tipo de colaboración hace pensar en la red como una nueva conexión, no entre neuronas, sino entre cerebros. La potencia de los matemáticos se ha visto multiplicada. Quien quiera más información puede consultar el libro:
Michael Nielsen, The New Era of Networked Science, Princeton University Press, Princeton, 2012.
El resultado que queremos comentar ha sido publicado en arXiv esta navidad y es fruto de una colaboración parecida entre 10 matemáticos. Con la diferencia de que en esta ocasión es un grupo al que solo se podía entrar por invitación.
El teorema que demuestran es el siguiente:
Teorema. Sea \(E\) una curva elíptica sobre un cuerpo \(F\) de multiplicación compleja. Entonces \(E\) y todas sus potencias simétricas son potencialmente modulares. Por tanto la conjetura de Sato-Tate es válida para \(E\).
La demostración está contenida en un artículo de 193 páginas. Poco podemos explicar aquí sobre la prueba, tan solo intentaremos explicar cual es el contenido del teorema.
Hay un precedente de este teorema:
Teorema [Wiles, Taylor-Wiles, 1995] Cualquier curva elíptica semi-estable sobre el cuerpo de los racionales es modular.
Famoso porque implica la solución del último teorema de Fermat. La restricción de que la curva sea semi-estable fue eliminada seis años después por Breuil, Conrad, Diamond y Taylor.
Creemos que la mejor manera que tenemos de explicar este teorema es exponiendo un caso particular, la mínima expresión de un teorema de modularidad, que es muy asequible y que no pasa del nivel de un estudiante de grado. Lo sorprendente es que la prueba en este caso depende fuertemente de las peculiaridades del caso. El teorema de Wiles y el que comentamos hoy son generales y su prueba requiere ideas nuevas.
Hay tres actores en el tema $$ \text{ Motivos — Teoría de Galois — Formas modulares } $$Trataremos en primer lugar de explicar estos tres actores en el ejemplo simple que viene de Smith (Henry John Stephen Smith (1826–1883)) un matemático poco recordado para su importancia real.
Motivos.
En su forma más rudimentaria un motivo está asociado a un conjunto de polinomios con coeficientes racionales. Smith consideró uno muy simple, el polinomio \(p(x)=x^4-2x^2+2\). Estamos interesados en el número de soluciones de la ecuación de congruencia \(x^4-2x^2+2\equiv0, \pmod{p}\), para los distintos primos \(p\). Encontramos las siguientes soluciones para los primeros primos $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19&23 & 29 & 31 & 37 & 41 \\ \hline x & 0 & & 2, 3 & & & 3, 10 & & & & 10, 19 & & 9,28 & 16, 19,22,25 \\ \hline \end{array} $$
Como se trata de un polinomio de grado \(4\) no puede tener mas de cuatro soluciones. En realidad encontramos que los primos se dividen en tres grupos. Aquellos para los que \(p(x)\equiv0\) no tiene ninguna solución, aquellos para los que tiene 2 y aquellos para los que tienen 4, contando multiplicidades son: \begin{align*}0 \text{ sol.} &\quad 3, 7, 11, 17, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 127, \dots\\2 \text{ sol.} &\quad 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, 173, 181, 197, 229, 269, 277, 293, \dots\\4 \text{ sol.} &\quad 2, 41, 113, 137, 257, 313, 337, 353, 409, 457, 521, 569, 577, 593, 761, 809, \dots\end{align*} El primo \(2\) es especial aquí, tiene una única solución pero es de multiplicidad \(4\).
Este tipo de problemas fue estudiado por primera vez por Gauss que dio dos criterios para la ecuación \(x^4-2\).
Teorema [Gauss]. Sea \(p\equiv1\pmod8\) un primo tal que \(p=(4a+1)^2+8b^2\). Entonces \(x^4-2\equiv0\pmod{p}\) tiene una y entonces 4 soluciones si y sólo si \(a\) es par.
Teorema [Gauss]. Sea \(p\equiv1\pmod8\) un primo tal que \(p=(4\alpha+1)^2+16\beta^2\). Entonces \(x^4-2\equiv0\pmod{p}\) tiene una y entonces 4 soluciones si y sólo si \(\beta\) es par.
El tipo de razonamiento usado por Smith puede empezar así. Supongamos que la congruencia \(x^2=-1\) tenga una solución módulo \(p\), llamémosla \(i\), entonces módulo ese primo se tiene $$x^4-2x^2+2=(x^2-(1+i))(x^2-(1-i))$$ Además \((1+i)(1-i)=2\). Se trata ahora de ver si \(1+i\) y \(1-i\) son cuadrados módulo \(p\).
Los argumentos de Smith son intrincados, usando además los resultados previos de Gauss, pero lo notable del resultado de Smith es que vio por primera vez el aspecto modular del problema. Tanto que no es posible explicar el resultado de Smith sin pasar a ver el siguiente lado de nuestro triángulo.
Formas modulares.
Antes de explicar qué es una forma modular veamos qué encontró Smith estudiando el polinomio \(x^4-2x^2+2\). Consideró una serie de potencias $$f(q)=q\prod_{n=1}^\infty(1-q^{8n})(1-q^{16n})$$ siguiendo ideas de Jacobi, se puede ver que $$f(q)=\sum_{n,m\in\textbf{Z}}(-1)^nq^{(4m+1)^2+8n^2}= \sum_{n,m\in\textbf{Z}}(-1)^{n+m}q^{(4m+1)^2+16n^2}.$$ Es fácil obtener a partir de estas expresiones los primeros términos de la serie de potencias $$f(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n q^n=q-q^9-2 q^{17}+q^{25}+2q^{41}+q^{49}-2q^{73}+q^{81}-2 q^{89}-2q^{97}+\cdots$$
El teorema que demuestra Smith es el siguiente:
Teorema [Smith (1865)]. Sea \(N(p)\) el número de soluciones de la congruencia \(x^4-2x^2+2\equiv 0\pmod{p}\). Cuando \(p\) es un número primo impar se tiene $$N(p)=1+\Bigl(\frac{-1}{p}\Bigr)+a_p.$$
Aquí \((\frac{-1}{p})=1\) si \(p\equiv1\pmod4\) y \((\frac{-1}{p})=-1\) si \(p\equiv3\pmod4\).
Poniendo \(q=e^{2\pi i z}\) se obtiene la función de \(z\), \(f(e^{2\pi i z})\) que es holomorfa en el semi-plano superior \(\textrm{Im}(z)>0\). Es un ejemplo de forma modular, lo que quiere decir que tiene unas propiedades de simetría extraordinarias. Eso hace que las formas modulares sean pocas.
En el resultado de Smith el vértice ‘Grupo de Galois’ está oculto, pero lo podemos hacer explícito.
Grupo de Galois.
El grupo de Galois de una ecuación podemos pensarlo como el de las permutaciones de sus raíces que se extienden a isomorfismos del cuerpo generado. Para el polinomio de Smith es el grupo diedral \(D_8\) de orden \(8\) definido por las simetrías de un cuadrado. $$\{(), (1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2), (1,3), (2,4), (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) \} .$$
Cada simetría es una aplicación lineal \(\textrm{SL}_2(\textbf{R})\). De manera que tenemos una representación del grupo de Galois \(\rho\colon G\to\textrm{SL}_2(\textbf{R})\).
El grupo de Galois actúa también sobre los enteros del cuerpo de números y sus ideales. De esta manera para cada primo hay un elemento del grupo de Galois que, módulo \(p\), actúa como elevar a \(p\). Es el Frobenius \(\tau_p\). La traza de la imagen \(\rho(\tau_p)\) coincide con \(a_p\), el coeficiente de la forma modular \(f\) (salvo para el primo 2 que es excepcional en este caso).
Artin asoció a cada representación \(\rho\) del grupo de Galois una función \(L(s,\rho)\) que está definida por una serie de Dirichlet. Y en este caso la función \(L\) asociada es $$L(s)=1-\frac{1}{9^6}-\frac{2}{17^s}+\frac{1}{25^6}+\frac{2}{41^s}+\cdots$$ que precisamente concuerda con el desarrollo de \(f(q)\) que dimos antes.
Podemos resumir diciendo que el motivo es modular y la forma modular está asociada a una representación del grupo de Galois.
El teorema de Wiles.
El ‘motivo’ en el caso del teorema de Wiles es una curva elíptica. Esto es un polinomio del tipo \(y^2=ax^3+bx+c\). Aquí consideramos los puntos de la curva módulo \(p\), parejas \((x,y)\) que cumplan la ecuación módulo \(p\). En la cuenta debe incluirse también el punto del infinito de la curva.
En este caso decimos que la curva es modular si el número de soluciones verifica $$N(p)=p+1-a_p$$ donde \(a_p\) son los coeficientes de una forma modular adecuada.
De nuevo tenemos asociada una representación de Galois y los coeficientes \(a_p\) son las trazas de la imagen del Frobenius. Lo que consigue Wiles es probar que en efecto si la curva es semi estable y con coeficientes en \(\textbf{Q}\), entonces es modular.
La razón de porqué esto tiene que ver con el teorema de Fermat es bastante sorprendente. Los coeficientes de la curva elíptica determinan el nivel de la forma modular que la va a representar. Por otra parte las formas modulares tienen unas propiedades de simetría tan sorprendentes, que es fácil limitar su número. Si \(a^p+b^p=c^p\) con \(p\ge5\) un número primo, Frey tuvo la idea de considerar la curva elíptica \(y^2=x(x-a^p)(x-b^p)\). Según los teoremas debería tener asociada una forma modular con determinadas características que debido a la especial forma de los coeficientes se prueban incompatibles.
La conjetura de Sato-Tate.
Cuando una curva elíptica es modular se tiene que \(-2\sqrt{p}\le a_p\le 2\sqrt{p}\). Podemos definir un ángulo \(\theta_p\) para cada primo mediante \(\cos\theta_p=\frac{a_p}{2\sqrt{p}}\). La conjetura de Sato Tate predice la distribución de estos ángulos para ciertas curvas elípticas (las que no tienen multiplicación compleja). La conjetura dice que para \(-1\le \alpha<\beta\le 1\) se tiene $$\lim_{x\to\infty}\frac{\textrm{card}\{p\le x\colon \alpha\le \theta_p<\beta\}}{\textrm{card}\{p\le x\}}=\int_\alpha^\beta\sin^2 t\,dt.$$ El teorema que comentamos dice que la conjetura es cierta para las curvas elípticas implicadas. Para más información consultar Conjetura de Sato Tate.
El nuevo teorema de modularidad.
El nuevo teorema que se acaba de probar se refiere a la modularidad de curvas elípticas con coeficientes en cuerpos de números algebraicos mayores que \(\mathbf{Q}\). En particular los que se llaman de multiplicación compleja. Esto quiere decir que son cuerpos \(F=K(\sqrt{\alpha})\), extensiones cuadráticas de otro cuerpo de números algebraicos \(K\) de manera que todas las inmersiones de \(K\) en \(\textbf{C}\) son en realidad inmersiones en \(\textbf{R}\) (decimos que \(K\) es totalmente real), pero en cambio \(F\) solo admite inmersiones complejas, esto es \(\alpha\) y todos sus conjugados son números reales negativos.
También debemos explicar por qué se dice ahora que las curvas son potencialmente modulares. Para explicarlo debemos ver una extensión anterior del teorema de modularidad de Wiles.
Este paso consiste en sustituir el cuerpo de los números racionales por un cuerpo \(K\) totalmente real. Veamos qué objetos tenemos que considerar en cada uno de los tres lados de la correspondencia: Motivos — Teoría de Galois — Formas modulares.
En el lado de los motivos, simplemente tenemos que considerar ecuaciones cuyos coeficientes están en \(K\): por ejemplo, curvas elípticas definidas por ecuaciones de la forma \(y^2 = ax^3 + bx + c\) con \(a, b, c\) en \(K\). En el lado de las representaciones de Galois, también es fácil: consideraremos el grupo de Galois de extensiones finitas \(F/K\) en lugar de extensiones de los números racionales. Sin embargo, en el caso de las formas modulares, no es tan claro ver qué objetos van a jugar ese papel: serán las formas modulares de Hilbert. Consideremos todas las inmersiones de \(K\) en los números reales, \(\sigma_1, \dots, \sigma_m\). Una forma modular de Hilbert es una aplicación holomorfa \(f\) definida en el producto de \(m\) copias del semiplano superior, que cumple unas propiedades de simetría análogas a las de una forma modular clásica (estas simetrías se refieren a la acción de un subgrupo de \(\mathrm{SL}_2(K)\), que podemos ver como un subgrupo del producto de \(m\) copias de \(\mathrm{SL}_2(\textbf{R})\) mediante las \(m\) inmersiones \(\sigma_1, \dots, \sigma_m\)).
Aquí entra en juego una idea clave: para cada cuerpo de números \(K\), tiene sentido considerar motivos sobre \(K\), representaciones de Galois sobre \(K\), y formas modulares (de Hilbert) sobre \(K\). Pero podemos relacionar estos objetos para distintos cuerpos \(K\): es la idea del cambio de base. Si \(K’\supset K\) es otro cuerpo totalmente real, un motivo sobre \(K\) también puede verse como un motivo sobre \(K’\) (una ecuación con coeficientes en \(K\) también tiene coeficientes en \(K’\)), para una extensión de Galois \(M/K\), el grupo de Galois \(\textrm{Gal}(M/K)\) contiene un subgrupo \(\textrm{Gal}(M/K’)\) (siempre que \(M\supset K’\)), y también hay una operación de cambio de base entre formas modulares de Hilbert. Ahora bien, para muchas aplicaciones (como por ejemplo la conjetura de Sato-Tate para curvas elípticas), si tenemos un motivo (o una representación de Galois) sobre \(K\), es suficiente ver que existe un cuerpo \(K’\supset K\) totalmente real tal que, visto como objeto sobre \(K’\), es modular. Esto es lo que se conoce como potencialmente modular: aunque no sabemos si el objeto es modular o no sobre el cuerpo base, sí podemos afirmar que, tras hacer un cambio de base suficientemente grande, el objeto que tendremos es modular sobre un nuevo cuerpo totalmente real.
En torno a 2010 se demostró que cualquier curva elíptica \(E\) sobre un cuerpo totalmente real \(K\) es potencialmente modular, siguiendo las ideas de Taylor y Kisin (ver survey de Buzzard).
Finalmente llegamos al teorema que nos ocupa hoy: cualquier curva elíptica \(E\) sobre un cuerpo de multiplicación compleja \(F\) es potencialmente modular. De nuevo, es fácil dar el salto de un cuerpo totalmente real a un cuerpo de multiplicación compleja en el lado de los motivos y de las representaciones de Galois. En el lado de las formas modulares, en vez de formas modulares de Hilbert hay que considerar representaciones automorfas del grupo \(\textrm{GL}_2\) (hemos tratado esto con mas amplitud en otra entrada del blog: Robert P. Langlands:premio Abel 2018). Una vez que tenemos los objetos en los tres lados sobre el cuerpo \(F\), podemos considerar de nuevo cambios de base: si \(F’\supset F\) es otro cuerpo de multiplicación compleja, podemos ver los objetos sobre \(F\) como objetos sobre \(F’\), y diremos que un motivo (o una representación de Galois) sobre \(F\) es potencialmente modular si existe un cuerpo de multiplicación compleja \(F’\supset F\) tal que, visto como objeto sobre \(F’\), es modular.
Los trabajos de Scholze, que le han valido la medalla fields en 2018, ‘transformando la geometría algebraica aritmética sobre los cuerpos \(p\)-ádicos mediante su introducción de los espacios perfectoides, con aplicaciones a las representaciones de Galois y el desarrollo de nuevas teorías de cohomología‘, son un avance crucial para la demostración de la modularidad potencial de curvas elípticas sobre cuerpos de multiplicación compleja. Sus resultados permiten formular una estrategia para la demostración, y en el artículo que nos ocupa hoy, los diez autores llevan a cabo esta estrategia.
El equipo.
El equipo está formado por 10 matemáticos y matemáticas relativamente jóvenes, pondremos la fecha de su Ph. D. para constatar esta juventud. Como uno de los autores (Frank Calegary) dice: En un trabajo de casi 200 páginas, que prueba unos cuantos hermosos teoremas hay bastante crédito a repartir entre 10 diferentes autores, además los autores más jóvenes de este trabajo hicieron más de lo que le tocaba en el reparto del trabajo.
Para saber más.
El articulo de los diez autores:
Patrick B. Allen, Frank Calegari, Ana Caraiani, Toby Gee, David Helm, Bao V. Le Hung, James Newton, Peter Scholze, Richard Taylor, Jack A. Thorne, Potential automorphy over CM fields, arXiv:1812.09999.
Hemos usado algunos elementos del excelente libro
Carlos J. Moreno, Samuel S. Wagstaff, Jr., Sum of Squares of Integers, Chapman and Hall/CRC, 2005.
Sobre la modularidad potencial puede ampliarse en el survey
Kevin Buzzard, Potential modularity — a survey, arXiv:1101.0097 . Non-abelian fundamental groups and Iwasawa theory, 188–211,
London Math. Soc. Lecture Note Ser., 393, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012.
El blog de uno de los autores tiene varias entradas referentes al tema que hemos usado en nuestro desarrollo:
New Results in Modularity, Part I. New Results in Modularity, Part II. New Results In Modularity, Christmas Update.
Conferencias:
Patrick Allen, Potential automorphy of some compatible systems over CM fields, youtube (7 de noviembre de 2017)
Richard Taylor, Potential Automorphy, youtube (4 de octubre de 2010).
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