Solución: ¿Quién mató a David?

Publicamos la solución al divertimento «¿Quién mató a David?». En esta ocasión, Alberto Flores y Javier Linares Torres han resuelto el caso.

Divertimento:

El detective O’Thales y su ayudante Mathson fueron requeridos por la policía para ayudarles a resolver un misterioso asesinato que se había producido unos años antes.

Un rico industrial llamado David había muerto al explosionar una bomba que había destruido por completo una enorme mansión que este poseía, a la que se había retirado después de haber participado en dudosas operaciones que le habían reportado muchos beneficios. La policía había cerrado el círculo de sospechosos en las siete ex-mujeres de David, a quienes este, antes de morir, había invitado a pasar unos días en su mansión.,

Los periódicos de aquellas fechas relataban que en su testamento, también perdido en la explosión, David no había dejado nada a ninguna de sus siete ex-mujeres.

-Recuerdo este caso –dijo O’Thales-. Lo curioso es que la bomba estaba diseñada especialmente para ser escondida bajo los pilares de la habitación en la que dormía David, lo que significa que la asesina tuvo que efectuar varias visitas al castillo para poder activarla.

-Ciertamente –dijo Mathson-, y por ello las he interrogado a todas. Y todas me juraron que no habían estado en aquel castillo más que una vez en su vida.

-Tal vez una de ellas mienta, replicó O’Thales. ¿Preguntaste a cada una de ellas que días pasó allí?

-Sí, pero desgraciadamente, después de tantos años ninguna recordaba las fechas exactas. Sin embargo, cada una de ellas sí recordaba a qué otras esposas había visto allí durante su estancia. Esto fue lo que me dijeron: Ana vio a Benita, Carlota, Felisa y Georgina; Benita vio Ana, Carlota, Elisa, Felisa y Helena; Carlota vio Ana, Benita y Elisa; Elisa vio a Benita, Carlota y Felisa; Felisa vio Ana, Benita, Elisa y Helena; Georgina vio Ana y Helena; y Helena vio a Benita, Felisa y Georgina.

¿Lo ve, mi querido O’Thales? Las respuestas concuerdan unas con otras.

Entonces, O’Thales, tras pensar unos momentos y hacer algunos garabatos en un papel, contestó:

-¡Albricias, Mathson! Lo que acabas de decirme me conduce de manera única a la asesina.

La pregunta es: ¿quién mató a David?

Solución:

Solución propuesta por Javier Linares Torres.

Representamos el grafo cuyos vértices son las esposas (A=Ana, B=Benita, C=Carlota, E=Elisa, F=Felisa, G=Georgina, H=Helena) de David y cuyas aristas representan la relación de «verse» (figura de la izquierda, grafo 1(a)) y el grafo complementario, que representa las esposas que no coincidieron (figura de la derecha, grafo 1(b)).

Consideremos a continuación 4 vértices del grafo 1(a) que llamaremos α, β, γ y δ de modo que los pares de vértices (α,β), (β,γ), (γ,δ) y (δ,α) sean adyacentes y supongamos además que β y δ no son adyacentes. Si cada una de las esposas α, β, γ y δ ha estado sólo una vez en el castillo, debe darse que α y γ son adyacentes:

Dicho de otro modo, siguiendo el convenio de colores en las aristas de los grafos anteriores (negro=han coincidido, rojo=no han coincidido), una configuración como la siguiente implica que alguna de las esposas α, β, γ o δ ha estado más de una vez en el castillo.

Bien, pues podemos representar todos los 4-ciclos del grafo 1(a) y completar las aristas que falten con el color correspondiente:

Vemos como los únicos ciclos donde «alguien ha visitado el castillo varias veces» son (b) y (c). Dado que la única esposa que se encuentra en ambos es Ana, debe ser la asesina de David.