Solución: Triángulo y cuadrado

Publicamos la solución al divertimento Triángulo y Cuadrado. Gracias a Alberto Flores por la solución que ha enviado.

Divertimento:

Se coloca un triángulo en el interior de un cuadrado de área uno de modo que el centro del cuadrado no está en el interior del triángulo. Demostrar que uno de los lados del triángulo tiene longitud menor que 1.

Solución:

Sea C el centro del cuadrado. Se traza una línea L1 por C paralela a al lado más cercano del triangulo, y otra linea L2 por C perpendicular a L1.

Las líneas L1 y L2 dividen el cuadrado en cuatro cuadriláteros congruentes. Como C no está dentro del triángulo, el triángulo está a lo más en dos de los cuadriláteros, que ademas son adyacentes. Entonces  dos de los vértices del triángulo pertenecen al mismo cuadrilátero. Se tiene que la mayor distancia entre dos puntos del cuadrilátero es la distancia entre dos de sus vértices opuestos, que es como máximo uno. Por tanto la distancia entre los dos vértices del triangulo que estén en ese cuadrilátero sera menor que uno.