Solución: Un problema de edades

Publicamos la solución al Divertimento Un problema de edades. Gracias a Alberto Castaño por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

Esta es la historia de una conversación que mantuvieron en algún momento del siglo XX los tres miembros de una familia, el padre, Matepa, la madre, Matema y el hijo de ambos, Matejo.

Matepa: Mi edad ha sido múltiplo de la tuya, Matema, en tres ocasiones; y de la tuya, Matejo, en dos, y una vez más que lo será todavía, si se da el caso.

Matema: La mía ha sido cinco veces múltiplo de la tuya, Matejo, y ya no volverá a ocurrir.

Matejo: Efectivamente. Y el año actual es múltiplo de nuestras edades.

¿En qué año nació cada uno?

Solución:

Solución enviada por Alberto Castaño.

La respuesta es que, suponiendo que todos habían cumplido años ya en 1980 (en caso contrario habría que restar un año a los que no lo hubieran hecho aún), Matepa nació en 1935, Matema en 1944 y Matejo en 1960. Vamos a verlo:

De la conversación se deduce que Matepa es el mayor de los tres y Matejo el menor. Llamemos \(x\) e \(y\) a las edades que tenían Matepa al nacer Matema y Matema al nacer Matejo, respectivamente. Para cualquier edad \(e\) de Matejo, \(e\) divide a \(y+e\) si y solo si \(e | y\). Por tanto, de las veces que las edades de uno han sido (o serán) múltiplos de las de otro, podemos afirmar, siguiendo el orden del diálogo, que:

1. \(x\) tiene tres divisores.
2. \(x+y\) tiene tres divisores.
3. \(y\) tiene cinco divisores.

Para cualquier número \(n\) descompuesto como producto de factores primos \(\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\), la cantidad de divisores es \(\prod_{i=1}^r(\alpha_i+1)\). Dado que las cantidades de divisores son todas primas, \(x\), \(y\) y la suma de ambos deben ser potencias de algún primo. Empecemos por \(y\), escribiéndolo como \(p^4\). Dado que es la edad de Matema cuando dio a luz a Matejo, la única solución posible es que \(p=2\) y así \(y=16\). Como por otro lado \(x\) y \(x+y\) son cuadrados de un primo, tenemos que \(x=q^2\) y \(x+y=r^2\). Sabemos que la ecuación \(q^2+16=r^2\) tiene como solución \((3,5)\), dada por la terna pitagórica \((3,4,5)\). De hecho es la única: si \(16=r^2-q^2=(r+q)(r-q)\), tanto \(r+q\) como \(r-q\) deben ser un divisores de 16, esto es, o bien 16 y 1 o bien 8 y 2. De la primera posibilidad no se consigue nada, y de la segunda obtenemos la solución que ya conocíamos.

En conclusión, \(x=9\), \(y=16\) y \(x+y=25\). Dado que la edad de Matejo no ha agotado los posibles divisores de 25 pero sí los de 16, deducimos que la edad de Matejo en el momento de la conversación a cumple que \(16<a<25\). Esas opciones nos permiten acotar las edades de los tres miembros de la familia a las ocho ternas \((42,33,17),(43,34,18), \ldots,(49,40,24)\) . La única cuyo mínimo común múltiplo es menor que 2001 es \((45,36,20)\) , para la que vale 180, concretamente. (De hecho, el resto tienen muchos factores distintos, y dado que \(2001^{1/3}<13\), no iban a poder ser.) El único múltiplo de 180 que se encuentra entre 1901 y 2000 es 1980, así que ese es el año en el que el diálogo tiene lugar y por tanto los años de nacimiento de cada uno, suponiendo que todos habían cumplido años ya en 1980, son 1935, 1944 y 1960.