Solución: Vaso troncocónico

Divertimento:

Cuando uno tiene un vaso cilíndrico, el volumen es solo proporcional a la altura que alcanza el líquido y así, si cuando el líquido alcanza una altura \(h\) tiene un volumen \(V\), para tener el volumen \(V/2\), hay que llenar el vaso hasta una altura \(h/2\).

Pero ya no son así las cosas si el vaso tiene forma troncocónica.

En casa tengo un vaso de forma de tronco de cono que tiene una altura de 13 cm y cuya boca tiene un radio de 4 cm. Cuando lo lleno hasta una altura de 10 cm, el volumen de agua que cabe es el doble del que contiene cuando lo lleno hasta una altura de 7 cm. ¿Cuál es el radio de la base del vaso?

Solución:

Solución enviada por Cristóbal Sánchez-Rubio.

Dado que el tronco de cono es un sólido de revolución, sabemos que si gira en torno al eje OX su volumen es $$V=\pi \int_a^b f(x)^2 dx,$$ siendo \(f(x)\) la ecuación de la recta que une los puntos \(A=(0,r)\) y \(B=(13,4)\), es decir, $$f(x)=r + \frac{4-r}{13}x.$$ El enunciado se expresa mediante la ecuación $$ \int_0^{10} f(x)^2 dx = 2 \int_0^7 f(x)^2 dx.$$ Como $$ \int_0^{10} f(x)^2 dx = \frac{10}{507}(217r^2+760r+1600),$$  $$\int_0^{7} f(x)^2 dx = \frac{7}{507}(283r^2+700r+784),$$ la ecuación en \(r\) queda $$\frac{10}{507}(217r^2+760r+1600) = 2 \frac{7}{507}(283r^2+700r+784),$$ que una vez ordenada resulta \(896r^2+110r-2512=0\), y la raíz positiva vale $$r=\frac{13 \sqrt{3777}-275}{448} = 1.1695199313\ldots$$