Toda nuestra vida es una sucesión de problemas que vamos resolviendo con más o menos acierto. Nuestro cerebro ha evolucionado justo para resolver estos problemas. La solución de problemas es una de las actividades humanas más características. Podemos definir la Matemática como el arte de resolver problemas. Es por eso que es tan útil y que estamos tan adaptados a ser matemáticos. Toda persona lleva un matemático dentro.
La Matemática abstrae los problemas de la vida eliminando la pasión, el deseo, los sentimientos, … que en muchas ocasiones nos impiden ver con claridad las situaciones diarias. Pero se trata de los mismos problemas. La Geometría es una de las ramas que se desarrolló en primer lugar debido a la importancia práctica de los problemas geométricos.
Hemos aprendido mucho sobre cómo plantear y resolver problemas. El matemático húngaro George Pólya dedicó mucha esfuerzo en aislar las técnicas de solución de problemas. En mi opinión con mucho éxito. Escribió un libro que no puedo recomendar bastante.
G. Pólya, How to solve it, Princeton University Press 2004.
En este libro Pólya considera técnicas generales, analogía, generalización, etc. Una idea fundamental del libro es: Si no puedes resolver un problema, entonces hay un problema más fácil que tampoco puedes resolver, encuéntralo. El objetivo de este consejo es que la solución del problema más fácil puede ser la clave para la solución del difícil. Esto en la práctica de los matemáticos se traduce en usar técnicas que otros hayan podido usar en la solución de otros problemas similares.
Los matemáticos siguen este procedimiento general. Ante un problema nuevo el matemático trata de buscar problemas análogos más simples que ya se sepan resolver y trata de ver si la solución del problema conocido le inspira cómo resolver su problema inicial. Muchas veces la ayuda de un problema análogo no es suficiente y hay que añadir una nueva idea. De este modo los métodos de solución se van afinando con el tiempo.
Cuando alguno encuentra la solución de un problema que ya ha sido considerado anteriormente sin éxito por otros matemáticos, es seguro que la solución contiene alguna idea nueva y todos tratan de aplicarla a la solución de otros problemas similares, que anteriormente no se supieran resolver. Generalmente esto tiene éxito y la nueva técnica se incorpora al cajón de herramientas del matemático.
Veremos hoy una de esas herramientas en acción. La primera idea del método que nos ocupa la tuvo Eratóstenes. El problema que él quería resolver era dar una lista de todos los números primos menores que un número dado. Supongamos que queremos hacer la lista de todos los números primos menores que 30. Para ello escribimos una lista de todos los números menores que 30. A continuación tratamos de tachar todos los números compuestos, aquellos que tienen un divisor primo menor que él. Empezamos por el primer número primo el \(2\), tachamos todos los múltiplos de \(2\), es decir, todos los pares, menos el \(2\). Todos los tachados son compuestos pues son divisibles por \(2\) y distintos de \(2\). A continuación buscamos el primer número no tachado el \(3\) y tachamos los múltiplos de \(3\), es decir, el 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30. Continua el proceso con los múltiplos de 5. El siguiente número no tachado es el 7, pero al ser \(7^2=49>30\), cualquier número compuesto \(<30\) tiene un divisor primo \(<7\) y ya esta tachado. Por consiguiente todos los números no tachados son primos y son todos los menores que 30.
Esta pequeña técnica de cribar los números para que queden solo los que nos interesan, ha recibido numerosas variaciones y ampliaciones hasta convertirse en una de las mas potentes herramientas de la Teoría de Números.
Henryk Iwaniec y John Friedlander dos expertos del tema publicaron en 2010 una monografía Opera de Cribro (un libro de 527 páginas) exponiendo el método y sus variantes. En la introducción escriben:
¿Qué nos impele a escribir un libro sobre los métodos de criba? Esperamos que tengamos algo que decir digno de ser escuchado y, si no lo escribimos, quizás algo se pierda para siempre.
Eratóstenes, alrededor del año 300 antes de Cristo, tuvo esta primera idea para tabular los primos. Después de un largo espacio de tiempo Legendre lo usó para dar una fórmula exacta para \(\pi(x)\) el número de primos \(\le x\). Esta fórmula parecía de muy poco valor práctico.
El primero que consiguió usarla con provecho fue Brunn en 1915, que consiguió probar que, fueran en número finito o infinito el conjunto de los primos gemelos (es decir, aquellos primos \(p\) tales que \(p+2\) también es primo), se tiene que la suma de sus inversos \(\sum{1\over p}<+\infty\). Landau fue el referee del artículo de Brunn, en una primera ojeada y viendo que su punto de partida era la fórmula de Legendre, Landau pensó que debía de ser la obra de un loco y guardó durante meses el artículo en un cajón de su mesa sin leerlo. Landau finalmente lo leyó y reconoció el valor del trabajo de Brunn.
A lo largo de muchos años el método ha seguido recibiendo nuevas ideas, procedentes de muy importantes matemáticos, como Selberg, Bombieri, etc.
Esto puede servir de ejemplo de cómo evoluciona la matemática. Nuevas técnicas van surgiendo que después se van refinando y con el tiempo hacen practicable la solución de problemas que al principio parecían inabordables.
Es por esto que la Matemática se convierte en un oficio. Hay una manera profesional de trabajar. Aprendiendo cada vez nuevas técnicas y aplicándolas sucesivamente a problemas más y más complicados. Pero sigamos un poco más para acercarnos al problema del que quiero hablar hoy.
Diofanto y Fermat.
Parece que Diofanto ya sabía que los primos que al dividir por 4 dan resto 1 pueden ser puestos como suma de dos cuadrados \(5=4+1\), \(13=9+4\), \(17=16+1\), \(29=25+4\), …, mientras que los primos que dan resto \(3\) como el \(7\), \(11\), \(19\), \(23\), … no pueden escribirse de esta forma. Al parecer Fermat consiguió probar este resultado, que es modelo de otros muchos teoremas parecidos.
Definamos una función \(\chi\) definida en los números naturales, de tal modo que \(\chi\) vale \(1\) en los números que al dividirlos por \(4\) dan resto \(1\), vale \(-1\) si el resto es \(3\) y vale \(0\) si el número es par. Esta función tiene una propiedad interesante relacionada con la observación de Diofanto y Fermat. Dado un número natural cualquiera \(n\) sea \(r(n)\) el número de soluciones de la ecuación \(n=x^2+y^2\), siendo \(x\) e \(y\) números enteros positivos o negativos. Pues bien tenemos una expresión exacta $$r(n)=4\sum_{d\mid n}\chi(d),$$ donde la suma se refiere a todos los divisores positivos \(d\) del número \(n\).
Por ejemplo los divisores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15, 45 y entonces \begin{align*}4\sum_{d\mid n}\chi(d)&=4(\chi(1)+\chi(3)+\chi(5)+\chi(9)+\chi(15)+\chi(45))\\&=4(1+(-1)+1+1+(-1)+1)=8.\end{align*} Y efectivamente \(45 = x^2+y^2\) tiene las \(8\) soluciones $$\{x,y\}=\{\pm\,6,\pm 3\},\quad \{x,y\}=\{\pm\,3,\pm 6\}.$$
Las conjeturas de Hardy y Littlewood.
La pareja de matemáticos ingleses publican en 1922/23 su trabajo Some problems in ‘Partitio Numerorum’ III en que atacan la conjetura de Goldbach: cada número par mayor que 2 es suma de dos primos. Consiguen probar, asumiendo la hipótesis de Riemann generalizada, que cada número impar suficientemente grande es suma de tres números primos. Para ello usan el método del círculo que no tiene que ver con el de criba. Lo que hacen es dar una expresión aproximada del número de representaciones \(n=p_1+p_2+p_3\). Lo que nos interesa aquí es que aunque no pueden rematar la aplicación de su método cuando lo aplican a otros problemas, sí que son capaces de predecir cuál va a ser la aproximación asintótica al número de soluciones. De este modo formulan numerosas conjeturas. Estamos interesados en una de sus conjeturas:
Conjetura J. Sea \(N(n)\) el número de soluciones de la ecuación \(n=x^2+y^2+p\) con \(p\) primo y \(x\) e \(y\) enteros, entonces $$N(n)\sim C A(n) \frac{n}{\log n},\qquad C=\pi\prod_{p>2} \Bigl(1+\frac{\chi(p)}{p(p-1)}\Bigr),$$ donde \(A(n)\) es el número racional $$A(n)=\prod_{p\mid n, p>2 }\Bigl(\frac{(p-1)(p-\chi(n))}{p^2-p+\chi(p)}\Bigr).$$
En 1957 Hooley consiguió probar la conjetura J asumiendo que la hipótesis de Riemann generalizada es cierta. En 1960 el matemático ruso Linnik introdujo su método de dispersión con el que pudo demostrar esta conjetura, sin hacer uso de ninguna hipótesis adicional. En el año 1963 el matemático ruso B. M. Bredihin, siguiendo la pauta de aplicar métodos nuevos a problemas similares, aplicó el método de dispersión de Linnik a un problema relacionado. Logró así probar:
Teorema de Bredihin. Sea \(a\in\mathbf{Z}\) fijo, para \(x>1\) sea \(S(x)\) el número de soluciones de $$p=u^2+v^2+a,$$ donde \(u\), \(v\in\mathbf Z\) y \(p\le x\) es un número primo. Entonces $$S(x)=C B(a)\frac{x}{\log x}+R(x), \qquad C=\pi\prod_{p>2}\Bigl(1+\frac{\chi(p)}{p(p-1)}\Bigr),$$ $$B(a)=\prod_{p\mid a, p>2 }\Bigl(\frac{(p-1)(p-\chi(n))}{p^2-p+\chi(p)}\Bigr),$$ y finalmente \(R(x)=O(x(\log x)^{-1.042})\).
En particular el trabajo de Bredihin probaba por primera vez la existencia de infinitos primos de la forma \(u^2+v^2+1\). La prueba es larga y muy técnica.
Lo que me ha incitado a hablar de este teorema es un trabajo que publican Friedlander e Iwaniec en que dan una prueba de un caso particular del trabajo de Bredihin. Prácticamente en una página dan la prueba del caso \(a=1\). El principal ingrediente de esta prueba simplificada es el Teorema 22.1 de su libro sobre criba. Se trata de una versión del teorema de Bombieri-Vinogradov sobre la distribución de primos en progresiones aritméticas. Usando métodos de criba, se obtiene un teorema de Bombieri-Vinogradov ligeramente superior al que se obtendría asumiendo la hipótesis de Riemann. Es lo que necesitan en la prueba.
La demostración de Friedlander e Iwaniec es corta y empieza haciendo uso de la observación de Diofanto y Fermat y la solución posterior que hemos comentado antes. Queremos encontrar el número de parejas \((u,v)\) tales que el número \(p=u^2+v^2+1\) sea primo y además \(p\le x\).
Para cada \(p\) fijo el número de soluciones de \(p-1=u^2+v^2\) es $$ r(p-1)=4\sum_{d\mid p-1} \chi(d).$$ Además como \(\chi(2n)=0\), tendremos que \(r(p-1)=r(\frac{p-1}{2})\). Por tanto el número \(S(x)\) de primos de la forma \(p=u^2+v^2+1\) será igual a $$S(x)=4\sum_{p\le x}r\Bigl(\frac{p-1}{2}\Bigr).$$
Este es esencialmente el punto de partida de la demostración de Friedlander e Iwaniec. Si quieres ver cómo culmina en apenas una página puedes consultar la referencia J. Friedlander y H. Iwaniec, On a Theorem of Bredihin and Linnik, arXiv:1807.06648.
Para saber más.
La referencia del libro de Friedlander e Iwaniec es
J. Friedlander y H. Iwaniec, Opera de Cribro, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010.
El trabajo que comentamos puede encontrarse en la red, como indican los autores muestra bien como se pueden simplificar las demostraciones mediante la aplicación de técnicas refinadas. El trabajo es asequible módulo la aceptación del resultado de Bombieri
J. Friedlander y H. Iwaniec, On a Theorem of Bredihin and Linnik, arXiv:1807.06648.
El artículo de Bredihin no está traducido del ruso. El original es
B. M. Bredihin, Binary additive problems of indeterminate type. II. Analogue of the problem of Hardy and Littlewood, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 27 (1963) 577-612.
La imagen destacada la he tomado de la página Criba en el museo del Catillo de Guadalest. Se trata de una criba en el Museu Etnològic del Castell de Guadalest. El autor de la foto es Joanbanjo.
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