Publicamos la solución al divertimento Rectángulos. Gracias a Alberto Castaño y a Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Dos rectángulos del mismo perímetro tienen áreas que se diferencian en 13 metros cuadrados. Si las dimensiones de los rectángulos son cuatro números enteros distintos y la menor mide 4 metros, calcular el resto de las dimensiones.
Solución:
Solución propuesta por Alberto Castaño.
Los lados de los rectángulos miden 4 y 18 metros y 5 y 17, respectivamente. Vamos a verlo.
Sabemos en general que de los rectángulos de igual perímetro p, el área decrece cuanto menor sea el lado menor de ellos. En efecto, si tomamos como base el cuadrado de lado \(l=p/4\), cualquier otro rectángulo de dicha familia tendrá área igual a \((l-x)(l+x)\), para cierto \(x\in[0,l)\), que es una función (de \(x\)) decreciente. Así, el rectángulo cuyo lado menor es 4 será el de área menor.
Si llamamos a los lados del otro \(a\) y \(b\) y \(s\) a su suma, el lado mayor del primer rectángulo será \(c=s-4\), siendo las áreas \(4s-16\) y \(4s-3\). Por tanto, buscamos dos enteros \(a\) y \(b\) cuya suma sea \(s\) y su producto \(4s-3\), es decir, que sean soluciones de la ecuación $$x^2-sx+4s-3=0.$$ Para que la ecuación tenga raíces enteras, el discriminante, \(s^2-16s+12\), debe ser un cuadrado perfecto, digamos \(n^2\), para cierto natural \(n\). Así, \(s\) será una solución entera positiva de la ecuación $$s^2-16s+12-n^2=0.$$ De nuevo, para que esta ecuación tenga raíces enteras, tenemos que imponer que el discriminante, \(16^2-48+4n^2\), sea un cuadrado perfecto, que es equivalente a que \(64-12+n^2\) lo sea. En otras palabras, buscamos un natural \(m\) tal que \(m^2-n^2=(m+n)(m-n)=52\), siendo \(m+n\) y \(m-n\) entonces divisores complementarios de 52. Solo hay tres parejas así, (1,52), (2,26) y (4,13). Ahora bien, como \(m+n\) y \(m-n\) deben tener la misma paridad, la única posibilidad es que \(m+n=26\) y \(m-n=2\), es decir, \(m=14\) y \(n =12\).
En conclusión, \(s=8+14=22, a=11-6=5, b=11+6=17\) y \(c=22-4=18\).
Una solución que considero algo más sencilla es, partiendo de que el rectángulo de lado 4 es el de área menor, llamando y a su otro lado y z a uno de los lados del otro rectángulo (y por tanto el lado que falta sería 4+y-z por tener igual perímetro), tenemos la igualdad:
4y+13=z(4+y-z)
que escribiéndola convenientemente:
13=(z-4)(y-z)
luego tanto z-4 como y-z tienen que ser divisores de 13. Como z-4 es mayor que 0, sólo puede ser 1 o 13, y por tanto z es 5 o 17. En el primer caso y-z=13 y en el segundo y-z=1, siendo en cualquier caso y=18.
Obtenemos así que los lados son (4,18) y (5,17).
Excelente solución Abrahan !!