Publicamos la solución al divertimento Un problema de restos. Gracias a Thiago Landim, Alberto Castaño, Jaime Benabent y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Probar que si se eleva al cuadrado cualquier número primo mayor que 5, al resultado se le suma 17 y al resultado de esa suma se le divide entre 12, el resto de esa división es siempre 6.
Soluciones:
Solución propuesta por Alberto Castaño y por Thiago Landim.
Lo que se pide probar es cierto no solo para todos los primos salvo 2 y 3 (también se cumple para 5), sino para todos los enteros de la forma \(6k\pm 1\), para cualquier entero \(k\). En efecto, si hacemos lo que dice el enunciado, obtenemos $$(6k\pm 1)^2+17=36k^2\pm 12k+18,$$ con lo que al dividir por 12, el resto siempre será 6. Y todo primo a partir de 5 se puede escribir de la forma \(6k\pm 1\) porque todos ellos son primos con 2 y 3.
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