Divertimento:
Probar que si \(x\) e \(y\) son enteros positivos tales que \(x + y = 2019\), entonces \(x \cdot y\) no es divisible por \(2019\). Probar que se cumple lo mismo para cualquier otro número libre de cuadrados distinto de \(2019\).
Solución:
Solución propuesta por Alberto Castaño.
Probamos un enunciado un poquito más general. En concreto, que dados tres enteros positivos \(n, x\) e \(y\) tales que \(n\) es libre de cuadrados, divide a \(x+y\) y es mayor que \(\min\{x,y\}\), entonces no puede dividir a \(xy\).
En efecto, tanto \(x(x+y)=x^2+xy\) como \(y(x+y)=xy+y^2\) son múltiplos de \(n\), y si \(n|xy\), también lo serían \(x^2\) e \(y^2\). Como \(n\) es libre de cuadrados, necesariamente debe dividir a \(x\) e \(y\), cosa que es imposible por ser al menos uno de ellos menor que \(n\).
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