Solución: Axiomática

Publicamos la solución al divertimento Axiomática. Gracias a Rafael González por la solución que nos ha hecho llegar.

Divertimento:

En una cierta geometría operamos con dos tipos de elementos, puntos y rectas, relacionados entre sí por los axiomas siguientes:
I. Dados dos puntos A y B, existe una única recta (AB) que pasa por ambos.
II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos no situados sobre una recta.
III. Cuando un punto B está situado entre A y C, entonces B está también entre C y A. (A, B, C son tres puntos diferentes de una recta.)
IV. Dados dos puntos A y C existe al menos un punto B en la recta (AC) de forma que C está entre A y B.
V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno como máximo, está entre los otros dos.
VI. Si A, B, C son tres puntos no situados sobre la misma recta y a es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta a pasa por un punto del segmento [AB], entonces pasa por uno del [BC] , o pasa por uno del [AC]. (Designamos por [AB] al conjunto de puntos que están entre A y B.)

A partir de los axiomas anteriores, demostrar la proposición siguiente:

Teorema.
Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B entre ellos.

Solución:

Solución propuesta por Rafael González.

Consideremos A y C dos puntos distintos. Por II sabemos que existe otro punto D que no está en la recta AC. Consideremos además la recta AD. . Utilizando el axioma IV, sabemos que existe un punto E tal que D está entre A y E. Utilizando el axioma IV, sabemos que existe un punto F tal que C está entre E y F. Consideramos el triángulo AEC y la recta DF. DF es una recta que pasa por [AE] y no contiene ningún vértice del triángulo, luego contiene algún punto de [AC] o de [EC]. . Dado que [EC] está contenido en EC y DF interseca en F, si DF no contiene un elemento de [AC], necesariamente F deberı́a estar en [EC]. Esto no es posible pues en este caso, junto con 3, tendrı́amos una contradicción con V.