El primer caso estudiado de probabilidad geométrica –no discreta, por tanto– fue propuesto y resuelto por Georges Louis Leclerc (1707-1788), conde de Buffon, más conocido como naturalista y botánico, aunque también tuvo interés por las matemáticas. El problema consiste en calcular la probabilidad de que una aguja de longitud \(l\) arrojada sobre una superficie donde haya marcadas líneas paralelas separadas una distancia \(d\) corte a alguna de las líneas –pongamos para simplificar que \(d>l\)–. La sorprendente solución es \(\frac{2l}{d\pi}\) –los cálculos de esta probabilidad los podrá encontrar el lector al final de la entrada–.
El marqués de Laplace estudió luego el mismo problema cambiando líneas paralelas por un retículo de líneas perpendiculares. Lo que me interesa señalar aquí, es que Laplace también señaló que el resultado de Buffon permitía obtener aproximaciones experimentales del número \(\pi\). En efecto, si repitiéramos un número \(P\) grande de veces el experimento de tirar una aguja de longitud \(l\) sobre una superficie donde haya marcadas líneas paralelas separadas una distancia \(d\), y contáramos el número de veces \(F\) en que la aguja cortó a alguna de las líneas, obtendríamos una probabilidad aproximada para el problema de Buffon igual a \(\frac{F}{P}\) –siguiendo el principio que dice que la probabilidad de un suceso es igual al número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles–. Si igualamos con la probabilidad calculada por Buffon, obtendríamos para el número \(\pi\) una aproximación experimental de
$$ \pi\sim \frac{2lP}{dF} $$
Después de que Laplace observara este hecho, han sido muchos los experimentos realizadas para calcular aproximaciones del número \(\pi\) tirando una y otra vez una aguja sobre una hoja marcada con líneas paralelas. Sin duda, el más famoso de estos experimentos fue el realizado por el italiano Mario Lazzarini en 1901. De Lazzarini casi lo único que se sabe es que fue el autor de este célebre experimento y debió de ser profesor de instituto.
Parece ser que Lazzarini diseñó una fascinante máquina que arrojaba la aguja sobre una parrilla de cables eléctricos –que hacían el efecto de las líneas paralelas–, y marcaba de forma automática en un papel continuo cada caso en que la aguja tocaba los cables. De esta forma, pudo realizar miles de experimentos en muy poco tiempo. Como sus propósitos eran pedagógicos más que científicos, Lazzarini publicó sus resultados en una revista docente: Periodico di matemática per l’insegnamento secondario.
Estos resultados son sin duda sorprendentes, porque Lazzarini logró la proeza de conseguir seis cifras exactas del número \(\pi\). Para ello usó una aguja de \(l=2’5\) cm con separación entre las líneas paralelas de \(d=3\) cm; hizo con ella 3.408 lanzamientos y en 1.808 ocasiones la aguja cortó a alguna de las líneas paralelas. Según calculamos antes, esto da para \(\pi\) un valor estadístico de
$$\pi\sim \frac{2lP}{dF}=\frac{2\times 2’5\times 3408}{3\times 1808} =3’141592…$$
Sorprendente… quizá demasiado: porque o Lazzarini tuvo mucha suerte o, más probablemente, hizo trampas. En efecto, basta crecer o decrecer en una unidad el número de veces que la aguja toca las líneas paralelas para obtener valores muy pobres de \(\pi \): 3’1398 y 3’1433, respectivamente.
Ahora veremos que, como puso de manifiesto Lee Badger casi un siglo después, la presunta trampa de Lazzarini es de lo más elegante. En efecto, si uno hace la cuenta con cuidado, resulta que la aproximación estadística que, sin querer queriendo, encontró Lazzarini es, exactamente, la fracción \(\frac{355}{113}\). Y esta no es una fracción cualquiera; todo lo contrario, es una fracción única pues tiene la propiedad de ser una mejor aproximación de \(\pi\): de todas las fracciones irreducibles con denominador menor o igual que 113, la \(\frac{355}{113}\) es la que mejor aproxima al número \(\pi\).
Esta propiedad le viene a la fracción \(\frac{355}{113}\) por ser un aproximante de la siguiente fracción continua
$$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{242+\cdots}}}}.$$
Esa fracción continua la consideró Euler en su magnífico Introductio in analysin infinitorum de 1748. Los primeros términos los obtuvo aplicando el algoritmo de Euclides al número racional
$$ \frac{31415926535}{10000000000}.$$
Euler apuntó que el segundo aproximante de la fracción continua, esto es,
$$3+\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$$
es la célebre aproximación de Arquímedes para el número \(\pi\). El cuarto aproximante, esto es,
$$ 3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1 }}}=\frac{355}{113},$$
es justamente la aproximación encontrada por Lazzarini. Euler la atribuyó a Adriaen Metius, que la publicó en 1611, a pesar de que ya era conocida en Occidente desde el siglo XVI, aunque el primero que la encontró fue el matemático chino Tsu Ch’ung-Chih en el siglo V.
Cada número real \(x\) tiene una fracción continua del tipo anterior, y resulta que cada aproximante \(p/q\), generado al truncar la fracción continua, tiene la propiedad de ser una mejor aproximación del número \(x\), en el sentido de que de todas las fracciones irreducibles con denominador menor o igual que \(q\), la \(p/q\) es la que mejor aproxima al número \(x\).
Eso es lo que le ocurre a la aproximación \(\frac{355}{113}\), que el avispado Lazzarini encontró para el número \(\pi\): dado el carácter único de \(\frac{355}{113}\), es harto difícil de creer que la encontrara lanzando agujas al azar.
Referencias
Lee Badger, Lazzarini’s lucky approximation of \(\pi\), Mathematics Magazine, 67, 83-91, 1994.
Antonio J. Durán, Crónicas Matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
La solución del problema de Buffon.
Suponemos que las líneas paralelas están orientadas en sentido del eje OX. Una vez tirada la aguja, nos fijamos en su extremo situado más al norte o, caso de que la aguja esté paralela al eje OX, su extremo más a la derecha. Situamos el eje OX sobre la línea paralela más cercana a ese extremo de la aguja por el sur y el eje OY de manera que pase por ese extremo. Podemos entonces identificar la aguja mediante un par de coordenadas \((\rho,\theta)\). La coordenada \(\rho\) mide la distancia del extremo fijado de la aguja al eje OX; es claro que esta coordenada satisface \(0\le \rho <d\). La coordenada \(\theta\) mide el ángulo que forma la recta sobre la que se sitúa la aguja con el eje OX, medido en sentido contrario a las agujas del reloj; tenemos por tanto \(0\le \theta < \pi\). Así el total de posiciones para la aguja corresponde con el cuadrado: \(0\le x< d\) y \(0\le \theta < \pi\), cuyo área vale \(d\pi\). De todas esas posiciones, aquellas en las que la aguja corta una de las líneas paralelas –por las condiciones anteriores sería necesariamente a la línea situada en el eje OX (recuerdo que \(l<d\))– vienen dadas por el conjunto cuyas coordenadas satisfacen \(0\le x\le l\mathrm {sen} \theta\) y \(0\le \theta < \pi\); un sencillo cálculo con integrales muestra que el área de este conjunto vale \(2l\). Si la probabilidad de un suceso es el cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles, y convenimos que, en este problema geométrico, el número de casos favorables corresponde con el área del conjunto de posiciones en que la aguja corta a las líneas, mientras que el número de casos posibles corresponde con el área de todas las posiciones posibles de la aguja, deducimos que la solución al problema de Buffon viene dada por el cociente de las áreas anteriores, o sea: \(\frac{2l}{d\pi}\).
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