Divisores

Delantal:

Es conocido que, de momento, factorizar un número entero es un problema muy difícil. No en vano la seguridad de una parte significativa de la criptografía de clave privada que se usa en la actualidad depende crucialmente de ese hecho. También es conocido que con un ordenador cuántico el asunto cambia de cariz pero sigue existiendo alguna dificultad, esta vez a la hora de construir un dispositivo que consiga llevar a cabo las operaciones necesarias, como hemos recogido en este blog recientemente.

Un paso previo al problema de factorizar un número, que a priori parece más sencillo, es averiguar si es primo o no. En 2002, tres científicos computacionales indios demostraron que efectivamente dicho problema era más simple, dando un algoritmo determinístico, universal, incondicional y polinomial en tiempo que determinaba si un entero dado era primo o no. El descubrimiento de ese algoritmo, hoy llamado test AKS de primalidad en honor a sus creadores (Agrawal, Kayal y Saxena) supuso una revolución no solo por lo que significaba sino por su sencillez, y además, demostró una vez más que el talento (el matemático o cualquier otro) no entiende, entre otras condiciones, de ocupación, nacionalidad o experiencia: Kayal y Saxena acababan de terminar el grado en informática. Como trabajo fin de grado no está mal.

Divertimento:

La descomposición de un número entero en producto de factores enteros puede plantear algunas preguntas que nos sirven para este divertimento. Hoy preguntamos por el número total de factores enteros positivos que tiene un número entero, incluyendo, por fijar ideas, el \(1\) y el propio número como factores suyos.

1. ¿Cuál es el menor entero positivo menor que \(1000\) que tiene más factores? ¿Cuántos tiene? ¿Cuánto suman estos factores?
2. ¿Cuál es el menor múltiplo de \(2019\) que tiene \(15\) divisores?
3. ¿Cuál es el menor múltiplo de \(2019\) que tiene \(20\) divisores?

(Nota: Buscamos respuestas que no incluyan búsquedas exhaustivas por ordenador.)

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 24 de noviembre, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 27 de noviembre. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.