Solución: Desarrollo de un cubo

Publicamos la solución al divertimento del desarrollo de un cubo. Gracias a Antonio Navas por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

Supongamos que tenemos un trozo de papel rectangular de dimensiones \(a\) y \(b\) (donde \(a\geq b\)). Se trata de determinar cuál es el cubo de mayor arista que existe para el que hay un desarrollo plano suyo que quepa en el papel. En concreto, se pide el valor de la arista de ese cubo máximo en función del parámetro \(m=a/b\), y en particular, cuando \(m=\sqrt{2}\), que es el caso del papel normalizado.

(Nota: No es necesario enumerar los posibles desarrollos que existen ni demostrar su existencia. Se entiende que todos ellos tienen las aristas paralelas a los lados del papel.)

Solución:

En diversos lugares, por ejemplo aquí, aparecen los posibles desarrollos planos de un cubo. Todos ellos se pueden clasificar en dos familias: aquellos en los que hay cuatro aristas consecutivas en una dirección y tres en la dirección perpendicular y uno en el que hay cinco aristas consecutivas en una dirección y dos en la perpendicular. Denotaremos a los de la primera como desarrollos tipo uno y al de la segunda como desarrollo tipo dos.

Llamemos \(l\) a la longitud buscada de la arista. En el primer caso debe darse que

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle l\leq\frac{a}{4}\\ \displaystyle l\leq\frac{b}{3}\end{array}\right., \text{ es decir, } l=\min(a/4,b/3).$$

En el segundo caso, tendremos que

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle l\leq\frac{a}{5}\\ \displaystyle l\leq\frac{b}{2}\end{array}\right., \text{ esto es, } l=\min(a/5,b/2).$$

De ambas condiciones resulta claro que si \(1\leq m\leq 4/3\), entonces \(a=\max(a/4,a/5)=a/4\), y si \(m\geq 5/2\), tenemos que \(l=\max(b/2,b/3)=b/2\). Queda la zona intermedia en la que \(4/3\leq m\leq 5/2\), que podemos dividir en otras dos regiones.

Concretamente, ahí \(l\) debe valer \(\max(a/5,b/3)\). Atendiendo nuevamente al valor de \(m\), podemos describir definitivamente \(l\) como:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} l=a/4 & \text{ si } 1\leq m<4/3 &\text{(tipo uno)}\\ l=b/3 & \text{ si } 4/3\leq m<5/3 &\text{(tipo uno)}\\ l=a/5 & \text{ si } 5/3\leq m<5/2 &\text{(tipo dos)}\\ l=b/2 & \text{ si } 5/2\leq m &\text{(tipo dos)} \end{array}\right..$$

En el caso concreto del papel normalizado, como \(4/3<\sqrt{2}<5/3\), el cubo máximo tendrá un desarrollo de tipo uno y la longitud de su arista será \(l=b/3\).