Michell, Richter y los Terremotos

Qué son los terremotos

Un terremoto, también llamado sismo o seísmo, es un fenómeno de sacudida brusca y no permanente de la corteza terrestre. Se produce al quedar liberada una cantidad considerable de energía y puede estar motivado por la actividad de fallas geológicas, la fricción de placas tectónicas, procesos volcánicos, impactos de asteroides o incluso como consecuencia de detonaciones nucleares.

El punto de origen de un terremoto se denomina foco o hipocentro. El punto de la superficie terrestre que se encuentra directamente sobre el hipocentro se denomina epicentro.

Dependiendo de su origen e intensidad, un terremoto puede causar desplazamientos de la corteza terrestre, corrimientos de tierras, tsunamis o actividad volcánica.

Los tres peores terremotos registrados hasta la fecha han sido los siguientes:

• Chile, 1960: Tuvo lugar el 22 de mayo de 1960. Su magnitud fue de 9,5 Mw, la mayor registrada hasta la fecha. Causó entre 6000 y 10000 muertos y se contabilizaron más de 2 millones de damnificados.

• Indonesia, 2004: Se produjo el 26 de diciembre del año 2004 frente al norte de Sumatra. Ocasionó la muerte de 230000 personas y afectó a Tailandia, Malasia, India, Bangladesh, Sri Lanka, Maldivas, Myammar e Indonesia.

• Estados Unidos, 1964: El 28 de marzo de 1964 en Anchorage, Alaska. Su magnitud fue de 9,2 Mw y su intensidad hizo que se levantara el suelo hasta 11,5~m en cientos de miles de kilómetros cuadrados. Murieron 128 personas.

En promedio, se produce cerca de un millón de terremotos por año en la Tierra, aunque la gran mayoría son tan pequeños que pasan desapercibidos. Sin embargo, las observaciones realizadas desde 1990 indican que cada año se producen al menos 18 terremotos de gran intensidad.

Un terremoto puede cambiar la duración del día. En efecto, la energía liberada puede alterar la distribución de la masa del planeta y producir una pequeña aceleración en su velocidad de rotación. Se sabe por otra parte que el agua estancada puede despedir un desagradable olor y aumentar ligeramente su temperatura inmediatamente antes de un seísmo, debido a los gases subterráneos liberados a medida que se desplazan las placas tectónicas. De hecho, la presencia de estos gases también puede contribuir a cambios locales en el ecosistema.

Debido a la espectacularidad de los efectos que producen, los terremotos han sido llevados al cine en numerosas ocasiones. Mencionemos por ejemplo el filme de 1974 «Terremoto», producido y dirigido por Mark Robson y protagonizado por Charlton Heston y Ava Gardner. Mucho más reciente es la cinta homónima de 2018 dirigida por John Andreas Andersen, ambientada en los alrededores de Oslo.

El origen de los terremotos parece haber sido descubierto en el siglo XVIII por el ingeniero británico John Michell. Michell diseñó una balanza que permitió medir por primera vez efectos sísmicos (un primitivo sismógrafo).

Michell es también conocido por introducir el concepto estrella oscura, la versión Newtoniana de lo que hoy se denomina agujero negro. La idea de Michell proviene del concepto velocidad de escape, que en la Tierra es aproximadamente de unos 40 000 km/h. Imaginó una estrella de enorme densidad, tanto que llegara un momento en que la velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz. Dedujo que, si la estrella fuese aún más pesada y densa, entonces un objeto no podría escapar ni siquiera moviéndose a la velocidad de la luz. Este razonamiento fue apoyado posteriormente por Laplace, que llegó a detallarlo en las dos primeras ediciones de su libro Exposition du Système du Monde. No obstante, en presencia de campos gravitacionales de gran intensidad, la mecánica Newtoniana no es aplicable. Así, las ideas de Michell resultan hoy día obsoletas, superadas por la teoría desarrollada por Schwarzschild y Chandrasekhar. Pero de todo esto hablaremos en otra ocasión, tal vez en una futura entrada …

Matemáticas y terremotos

Las Matemáticas pueden ayudar a describir e incluso predecir terremotos a varios niveles.

Así, la probabilidad de que se produzcan terremotos viene dada por una distribución de Poisson. Más precisamente, la probabilidad de que aparezcan \(k\) terremotos de magnitud \(M\) en un período de amplitud \(T\) en una región está dada por
$$
\mbox{Prob}\,(k,T,M) = \frac{1}{k!} \left( \frac{T}{T_r(M)} \right)^k
e^{-\frac{T}{T_r(M)}},
$$
donde \(T_{r}(M)\) es el tiempo de retorno de un terremoto de intensidad \(M\) en la región, esto es, el tiempo medio entre dos terremotos de esa intensidad.

Si se quiere conseguir una descripción detallada de la evolución de un terremoto, conviene recurrir a modelos basados en EDPs. Aceptando que una región de la corteza terrestre ocupa el conjunto \(\Omega \subset \mathbf{R}^3\) y estamos interesados en la evolución de un terremoto durante el intervalo temporal \((0,T)\), es apropiado suponer que el campo de desplazamientos correspondiente \(u = (u_1,u_2,u_3)\) es solución en \(\Omega \times (0,T)\) del sistema lineal de elasticidad
$$\rho(x) u_{tt} – \nabla \cdot (\mu(x)(\nabla u + \nabla u^T) – \nabla (\lambda(x) \nabla \cdot u) = f(x,t)
$$

(junto con adecuadas condiciones iniciales y de contorno para \(u\)). Aquí, \(\nabla\) es el operador gradiente, de componentes las derivadas espaciales; \(\rho = \rho(x)\) es la densidad de masa y \(\mu = \mu(x)\) y \(\lambda = \lambda(x)\) son los coeficientes de Lamé del medio (la corteza terrestre); \(f = f(x,t)\) es el campo de fuerzas exteriores que actúan en la región: la gravedad, efectos térmicos y/o electromagnéticos, etc.

En modelos simplificados, se supone que \(\rho\), \(\mu\) y \(\lambda\) son constantes positivas y \(f \equiv 0\). Entonces \(u\) adopta la forma
$$
u = \nabla \phi + \nabla \times \psi \ \text{ con } \ \nabla \cdot \psi = 0,
$$
es decir, una suma de un gradiente y un rotacional, con \(\phi\) y \(\psi = (\psi_1,\psi_2,\psi_3)\) soluciones de EDPs de ondas en \(\Omega \times (0,T)\):
$$
\phi_{tt} – \alpha^2 \Delta \phi = 0, \quad \psi_{tt} – \beta^2 \Delta \psi = 0,
$$
donde \(\alpha^2 = (\lambda+2\mu)/\rho\), \(\beta^2 = \mu/\rho\).

Se suele decir que \(u\) es la suma de una onda de tipo P (la componente \(\nabla\phi\), también denominada onda longitudinal o primaria) y otra de tipo S (la componente \(\nabla\times\psi\), una onda transversal o secundaria).

Ejemplos de funciones \(\phi\) y \(\psi\) son
$$
\phi(x) = A \cos(x_1 – \alpha t), \quad \psi_1(x) = 0, \quad \psi_2(x) = \psi_3(x) = A \cos(x_1 – \beta t).
$$
Esto da lugar a las siguientes ondas de tipo P y S:
$$
\nabla\phi = (-A \sin(x_1 – \alpha t), 0, 0), \quad \nabla \times \psi = (0,A \sin(x_1 – \beta t),-A \sin(x_1 – \beta t)).
$$
En el primer caso, estamos considerando un movimiento ondulatorio propagado en la dirección del eje \(x_1\), la misma en la que vibran las partículas, a velocidad \(\alpha\) (que en la práctica va de 8 a 13 km/s), de amplitud \(A\). Estas ondas circulan por el interior de la Tierra atravesando líquidos y sólidos y son las primeras que registran los aparatos de medición o sismógrafos.

En el segundo, nos estamos refiriendo a una onda más lenta, de velocidad \(\beta\) (de 4 a 8 km/s) y de igual amplitud, que se propaga en direcciones contenidas en el plano \(x_2\,x_3\), perpendiculares al sentido de vibración de las partículas, capaz de atravesar únicamente sólidos.

La interacción de una onda de tipo P y otra de tipo S produce con frecuencia ondas de un tercer tipo sobre la superficie de la Tierra. Estas últimas se propagan con una velocidad inferior (unos 3.5 km/s) pero, debido a su localización, son las que más daños causan. La determinación de \(u\) es en muchos casos posible con métodos numéricos adecuados.

Qué nos dice un sismógrafo

Dado que se propagan a velocidades distintas, las ondas de tipo P llegan antes que las ondas de tipo S a los puntos de observación.

De hecho, midiendo el intervalo de tiempo que va de la llegada de una onda de tipo P a otra de tipo S, podemos hallar fácilmente la distancia del sismógrafo al epicentro. Obviamente, mediante un clásico procedimiento de triangulación, las mediciones de tres sismógrafos no alineados permiten localizar este punto.

Por otra parte, la magnitud de un terremoto es una medida de la energía que libera. Se cuantifica con un valor en la escala logarítmica de Richter, usualmente comprendido entre \(2\) y \(9\). El procedimiento seguido para calcular este valor es el siguiente:

• Se fija el valor \(3.0\) para una onda sísmica que pueda ser detectada con amplitud \(1\) mm a una distancia de \(100\) km del epicentro.

• Cualquier otra medida de la magnitud se lleva a cabo teniendo el dato anterior como referencia.

• Por ejemplo, a un terremoto detectado a igual distancia del epicentro con amplitud \(10\) mm se asigna el valor \(4.0\).

Los terremotos de magnitud \(8.0\) o superior son raros y muy destructivos.

Conocidos el enclave del epicentro y la magnitud del terremoto, podemos hacernos una idea de su intensidad o severidad en cada punto.

Figuras – 1 y 2: Los efectos producidos por un terremoto; 3: John Michell (1734-1793); 4: Charles Ritcher (1900-1985); 5: Proceso de triangulación y determinación del epicentro; 6: Determinación de la magnitud de un terremoto en la escala de Ritcher.

Para saber más

• R. Ashler, «The seismic wave equation», https://fliphtml5.com/kjno/fdic/basic

• C. H. Chapman, «Fundamentals of seismic wave propagation», Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

• Handbook of geomathematics. Volume 1, 2, Edited by Willi Freeden, M. Zuhair Nashed and Thomas Sonar. Springer-Verlag, Berlin, 2010.

• Kennett, B. L. N. The seismic wavefield. Vol. I, Introduction and theoretical development. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.