Solución: Jugando con triángulos

Publicamos la solución al divertimento del juego con los triángulos equiláteros. Gracias a Antonio Navas y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Se da una figura constituida por un triángulo equilátero y una recta paralela a un lado que pase por su centro. Se establece un juego entre dos jugadores cuyas reglas son las siguientes:

1. Cada jugador escoge un punto en el triángulo, incluidos los lados. Gana aquél que obtenga el mayor valor al sumar las distancias desde el punto escogido a los lados del triángulo.
2. En caso de empate, gana aquél que tenga la mayor distancia desde el punto a un lado del triángulo.
3. En caso de empate, gana aquél que tenga la mayor distancia desde el punto a la recta que pasa por el centro.

¿Cómo se debe escoger el punto para ganar?

Solución:

Sea \(P\) un punto de nuestro triángulo equilátero. Si se une \(P\) a los tres vértices, el triángulo queda descompuesto en otros tres si \(P\) es interior, en dos si \(P\) está sobre un lado y no es un vértice o queda invariante si \(P\) es un vértice. En cualquier caso, si se igualan el área del triángulo original y la suma de las de los triángulos formados, podemos comprobar que la suma de las distancias de \(P\) a los lados es siempre igual a la altura del triángulo (Teorema de Viviani). Por tanto, el primer criterio del juego no discierne qué jugada es mejor.

Atendiendo al segundo criterio de desempate, para tener la mayor distancia posible a un lado obviamente hay que escoger un vértice del mismo. Por tanto puede darse nuevamente un empate si ambos jugadores eligen sendos vértices.

Por último, de los tres vértices hay uno que da la mayor distancia a la recta y es el que no pertenece al lado paralelo a la misma (siendo dicha distancia el doble de las otras dos). Esta es, pues, la elección óptima.