Cambio de año coprimo

Delantal:

Un año más recibimos a nuestros lectores en esta sección. Esperamos que hayan descansado y que hayan tenido una buena entrada de año y una feliz Navidad. Aprovechando que quien más, quien menos, ha comido alguna que otra vez con la familia, traemos a colación este divertimento sobre primos. (Ya sabemos que el chiste no es de lo mejor que se pueda leer por este blog precisamente; por eso compensamos con las geniales viñetas de Alberto Montt, creador de la que ilustra esta entrada.) También sabemos que todos los cambios de año son coprimos, pero deseamos que encuentren como nosotros la misma belleza sutil en el primer divertimento de 2020.

Divertimento:

Sean \(a\) y \(b\) dos enteros positivos tales que
$$ (2+\sqrt{19})^{2020}=a+b\sqrt{19}.$$
Probar que \(a\) y \(b\) son coprimos.

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 19 de enero, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 22 de enero. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.